【正文】 |)(| nxf n ?.)(lim ???? nx xf,21||0,21,2 02222 時當對 ?????? xxxG ?,1||0,1, 0 時當對 nxxxnnG nnnn ?????? ?由此得到一列 ，滿足 且 , 00 xxxx nn ??}{ nx............注 例 8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取 法 , 對提高解題能力是有益處的 . 符合要求的點列的一種方法 . 熟練地掌握這種方 四、漸近線 作為函數(shù)極限的一個應用，我們來討論曲線的漸 我們已經(jīng)知道雙曲線的標準方程為 ,12222?? byax它的漸近線方程為 .xaby ??xaby?xaby ??12222 ?? byaxo xy近線問題 . 下面給出漸近線的一般定義 . 定義 4 設(shè) L 是一條直線 , 若曲線 C 上的動點 P 沿 曲線無限遠離原點時 , 點 P 與 L 的距離趨于零，則 稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線 (如圖 ). bkxy ???PNML )( xfy ?C xyO.1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN ? ????? ?由漸近線的定義， 或時 (???x ????? xx ,01)(lim 2 ?? ????? kbkxxfx即時） ,0, ?PN首先 , 我們來看如何求曲線 的斜漸近線 . )( xfy ?如圖所示 , 設(shè)斜漸近線 L 的方程為 .bkxy ?? 曲 線上的動點 至直線 L 的距離為 ),( yxP從而 .])([l i m kxxfb x ?? ???又 xkxxfkxxfxx???????? ???????)(lim)(lim,0lim ????? xbx所以 .)(lim x xfkx ????這樣就確定了 斜漸近線 的兩個參數(shù)： ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfbx ?? ???這是沿 x 軸正向的漸近線的方程 . 顯然沿 x 軸負向 ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfb x ?? ???同樣也可以求出沿著 x ? － ? 的漸近 線方程 . 的斜漸近線的斜率和截距分別為 注 特別當 k = 0 時，該漸近線稱為水平漸近線 . )()(l i m ?????? Axfx.))(lim,)(lim( AxfAxf xx ?? ?????滿足若函數(shù) )( xf??? )(l i m0xfxx,))(lim)(lim(00???? ????xfxfxxxx或則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線 . )( xfy ?顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是 例如 ,ar c t an xy ?有水平漸近線兩條 : .2,2 ????? yy例如 ,21??xy有垂直漸近線 : 2??x3 2 1 140202040例如 ,)3)(2( 1 ??? xxy有垂直漸近線兩條 : .3,2 ??? xx例 9 .)1()( 23的漸近線求 ?? x xxf解 ).,1()1,(: ???? ?D??? )(lim 1 xfx? .1 是曲線的垂直漸近線?? x??? xxfx)(lim?又23)1(l i m ??? xxxx])1([lim])([lim 23xx xkxxfxx????????再由bx xxxx??? ?????2)1( )1(l i m 223.2 是曲線的一條斜漸近線??? xy22)1(l i m ?? ?? xxx1?20 10 10 2020204060.)1()( 23的圖形??xxxf注意 : 。)(l i m,)(l i m,)(l i m ???????? ????????? xfxfxf xxx。)0(~sin ,1sinlim0???xxxx xx所以因為。x xx ??為 時的無窮小量s in .xx ??為 時的有界量小量 . 1. 兩個 (類型相同的 )無窮小量的和，差，積仍是 2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量 . 性質(zhì) 1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到 . ? ? 所以因為的 ,0lim,00?? ? xfxx? 使得當存在 ,0??無窮小量 . 下面對性質(zhì)２加以證明 . 00 | | , | ( ) | ,1x x f x M??? ? ? ??時 從而0 0li m ( ) 0, | ( ) | , ( ) .xx f x g x M x U x? ? ? ?設(shè) 對于任意0( ) ( ) .f x g x x x?這 就 證 明 了 是 時 的 無 窮 小 量例如 : 時為時的無窮小量，為 01si n0 ?? xxxx.01sin 時的無窮小量為的有界量，那么 ?xxx.01si nlimlim1si nlim000?????? xxxxxxx應當注意 , 下面運算的寫法是錯誤的： | ( ) ( ) | .f x g x ??xxy1s i n?從幾何上看，曲線 在 近旁發(fā)生無 0?x限密集的振動，其振幅被兩條直線 xy ?? 所限制 . y O xxy?xxy1sin?xy ??二、無窮小量階的比較 兩個相同類型的無窮小量，它們的和 、 差 、 積仍 ? ?? ? ? ? ? ?xgxfxxxgxfxx是關(guān)于時則稱，若 00l i 0???? ? ? ? .,0 均是無窮小量時，設(shè)當 xgxfxx ?出如下定義 . 兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給 這與它們各自趨于零的速度有關(guān) .為了便于考察 是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的 . 的高階無窮小量，記作.)())(()( 0xxxgoxf ??.)()1()( 0xxoxf ??.)0,0()(1 ???? kxxox kk。,0 xxxUx nn ?? ? ??設(shè) .)(l i m Axf nn ???.)( ?? ???? AxfA n對于任意 ),( 00 xxxUx N ?? ?? ).()( xffA N ??? ?,0 N??? ?故 當 時 , 有 Nn ?假設(shè) )(xf 遞減． 性 . ,0 xxx n ??又因為 ),(1 NN ??所以 ,1 xx N ?使因此從而 .)()( 1 ???? Axfxf N.)( ?? ???? AxfA.)(lim0Axfxx ???即?? ))(xfy ?xNx1Nx x0xOy??A??AA三、柯西收斂準則 有定義 , 則極限 )(lim xfx ???存在的充要條件是 : 任 ),(,0 MX ?? 存在給 ? 均有對于任意 , 21 Xxx ?.|)()(| 21 ??? xfxf定理 設(shè) f (x) 在 ?? 的某個鄰域 }|{ Mxx ?上 ),( MX ?存在 對一切 x X， .2|)(| ??? Axf有所以對一切 , 21 Xxx ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | .f x f x f x A f x A ?? ? ? ? ? ?證（必要性） ,)(l i m Axfx ????設(shè)則對于任意 ,0??(充分性 ) ? ? 對一切，存在對任意的 ,0 MX ???有, 21 Xxx ?? ? ? ? .21 ??? xfxf，則存在任取 Nxx nn ???,}{ ,時當 Nn ?.)()( ??? mn xfxf? ?? ? ., 因此收斂是柯西列這就是說 nxf使若存在 ,},{,}{ ?????? nnnn yxyx.)}({ 發(fā)散，矛盾但 nzf,)(,)( ABByfAxf nn ???? ? 1 1 2 2, , , , ,n n nz x y x y x y則 令 為 ， ， ，.???nz顯然故, Mxx mn ? ,. 時又當 NmnXx n ??這樣就證明了對于任意的 ,},{ ???nn xx)(lim nn xf?? 存在且相等 .由歸結(jié)原則 , )(lim xfx ???存在 . 雖然以及是： ,}{,}{,00 nn yx?? ?， ?????? nn yx? ? ? ? .0??? nn yfxf但是 注 由柯西準則可知 , 不存在的充要條件 lim ( )x fx? ??.1sinsin 0???? nn yx但是 不這就說明 xx s i nlim ???,s i n xy ?對于 ,10 ??取例如 , π2 π ,2 π ,2nnx n y n? ? ?存在． 作業(yè) 習題 3 167。 3 函數(shù)極限存在的條件 三、柯西收斂準則 二、單調(diào)有界定理 一、歸結(jié)原則 的充要條件是 : 對于在 內(nèi)),( 0 ?xU ? 以 x0 為極限的 ,}{ nx任何數(shù)列 )(lim nn xf??極限 都存在 , 并且相等 . 證 (必要性 ) 設(shè) ,)(l i m0Axfxx ?? 則對任給 存,0??,0??在 有時當 ,||0 0 ???? xx定理 .),( 0 有定義在設(shè) ?xUf ?存在 )(lim0 xfxx ?.|)(| ??? Axf?}{ nx設(shè) ,),( 00 xxxU n ??? 那么對上述 存在 ,?有時當 , NnN ?,||0 0 ???? xx n所以 .|)(| ??? Axf n 這就證明了 .)(l i m Axf nn ???(充分性 )（下面的證法很有典型性，大家必須學 恒有 .)(l i m Axf nn ???0)( xxxf ?在若 時 , 不以 A 為極限 , 則存在正數(shù) 設(shè)任給 ),(}{ 0 ?xUx n ?? ,0xx n ?會這種方法 .） .|)(| 0?? ?? Axf現(xiàn)分別取 ,2, 21 ?? nn ?????? ???存在相應的 ),(, 21 nnn xUxxxx ???? ?使得 .,2,1,|)(| 0 ???? nAxf n ?對于任意正數(shù) ),(, 0 ?? ? xUx ??存在 使得 ,0?,||0 0 nxx nn ?? ????這與 Axf nn ??? )(l i m矛盾 , 注 歸結(jié)原則有一個重要應用： 若存在 ,),(}{},{ 000 xyxxxUyx nnnn ??? ?但是 ),(l i m)(l i m nnnn yfBAxf ???? ???)(l i m0xfxx ?則 不存在 . .l i m 0xx nn ???，不趨于時，但當 Axfn n )(??.)(l i m0Axfxx ??所以必有例 1 xxxx c o slim,1sinlim0 ???證明都不存在 . 解 11 0, 0 ,π2 π 2 π2nnxy nn? ? ? ??取 有,1s i nlim101s i nlimnnnn yx ???????故 xx1sinlim0? 不存在 . π2 π , 2 π ,2nnx n y n? ? ? ? ? ? ?同理可取 有,c o slim01c o slim nnnn yx ???? ???故 xx c o