數(shù)學(xué)分析第二章數(shù)列極限-wenkub.com
2025-06-04 19:23 本頁面
【正文】 數(shù)列 單調(diào)有界證法欣賞: Cauchy (1789—1857 ) 最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.證法一 （ Riemann最先給出這一證法） 設(shè) 應(yīng)用二項(xiàng)式展開，得 ，+ 注意到 且 比 多一項(xiàng) 即 ↗. 有界.綜上, 數(shù)列{ }單調(diào)有界.評註: 該證法樸素而穩(wěn)健, 不失大將風(fēng)度.收斂的充要條件——Cauchy收斂準(zhǔn)則： 一．?dāng)?shù)列收斂的一個充分條件 —— 單調(diào)有界原理：回顧單調(diào)有界數(shù)列.教學(xué)要求：1. 掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限；2. 初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性。利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限: 兩個基本極限： 1．利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限： 例1 註： 關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時的極限情況例2 四則運(yùn)算性質(zhì): Th 1 設(shè) 若 則 （ 證 ）由于已知條件中對都成立，而結(jié)論是比較數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系，證明時只需找到一個，使與之對應(yīng)的N滿足條件即可！ 系1 設(shè) 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情況 ）.由于結(jié)論是比較數(shù)列極限的關(guān)系，證明時必須對都成立！ 系2 設(shè) 或. 則對(或 (或 系3 若 則對 絕對值收斂性見后. 4.收斂數(shù)列有界性 —— 收斂的必要條件：（ 證 ） 2 收斂數(shù)列的性質(zhì)（4學(xué)時） 教學(xué)目的
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