(數(shù)學(xué)分析教案)第八章-wenkub.com
2025-08-01 17:28 本頁(yè)面
【正文】 注意：初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，因此，在初等函數(shù)的范圍內(nèi)，某些初等函數(shù)的原函數(shù)是不存在的，即使該函數(shù)可積（見(jiàn)教材P198）。說(shuō)明：用下面的方法計(jì)算本題較為簡(jiǎn)單 。例3 求 。1) 若則可令如求2) 若，則可令，如求 。對(duì)于三角有理式的不定積分 。例1 求 。（3） ，令，并記，則 。的真分式之和，其中A，B，為常數(shù)，為正整數(shù)。若，則稱為真分式；若，則稱為假分式。 ， （，為常數(shù)）這種類型的積分如例15那樣，也可以用分部積分法來(lái)解決。注：分部積分可多次使用。例12 求。證明：由即可得。例10 求 。【分析】 為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，可令，也可令?！痉治觥? 為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，取根次數(shù)2和3的最小公倍數(shù)6，并令，則可化簡(jiǎn)積分。使用第一換元積分法的關(guān)鍵：在于把被積表達(dá)式湊成形式，從而作變換，化積分為：。 同時(shí)也可令或（第二換元法）將積分化為： 或。例3 求 。例1 求 。也可寫(xiě)為：（令 =（代回）。例5 。例1 , 則。另外，還須借助一些積分法則才能求出更多函數(shù)的不定積分。注： 在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往是先求出全體原函數(shù)，然后從中確定一個(gè)滿足條件 （稱之為初始條件，一般由具體問(wèn)題確定）的原函數(shù)，它就是積分曲線族中通過(guò)點(diǎn)的那條積分曲線。如： ， 。此時(shí)稱為積分常數(shù)，它可取任意實(shí)數(shù)。（2）在上的任何兩個(gè)原函數(shù)之間，只可能相差上個(gè)常數(shù)（揭示了原函數(shù)間的關(guān)系）。證明：在第九章中進(jìn)行。若， ，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。第八章 不定積分(14學(xué)時(shí))167。如：是在R上的一個(gè)原函數(shù)；， ，等都有是在R上的原函數(shù)——若函數(shù)存在原函數(shù)，則其原函數(shù)不是唯一的。說(shuō)明：（1）由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的
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