【正文】 .，(用區(qū)間套技術(shù), 參閱[3] P77例10 證法2)當(dāng)時(shí),或就是方程間, 設(shè)分 , 就是方程或.出現(xiàn)這種情況).若如此得一級(jí)區(qū)間上的實(shí)根.(為行文簡(jiǎn)練計(jì), 以, 取。同理為有限集, 不是的上界，為Cauchy列, 由Cauchy收斂準(zhǔn)則,↘.設(shè)↘.有↗...“Ⅱ” 的證明:“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”:(Weierstrass)（突出子列抽取技巧） ．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則” ： 數(shù)列收斂驗(yàn)證收斂子列的極證（只證充分性）證明思路 ：.“Ⅲ” 的證明: “區(qū)間套定理”證明“Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理”: “Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”:167。(a,b).于是,當(dāng)n充分大時(shí)有[an,bn]204。165。[a1,b1],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:[an,bn]201。165。|anan|+|anA|2e取m=nk(179。U((致密性定理): 設(shè){xn}{xn}中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),{xn}中不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則{xn}在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有界無(wú)限點(diǎn)集,故由聚點(diǎn)定理,點(diǎn)集{xn}至少有一個(gè)聚點(diǎn),162。165。[a3,b3],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:[an,bn]201。165。en=min(,|xxn1|)20,則存在xn206。U(x。設(shè)x為S的一個(gè)聚點(diǎn),則對(duì)任給的e0,存在x206。222。222。2定義若存在各項(xiàng)互異的數(shù)列,則其極限n174。198。.二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理定義2 設(shè)S為數(shù)軸上產(chǎn)的點(diǎn)集，x為定點(diǎn)，若x的任何鄰域內(nèi)都有含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，:{(1)+n1n有兩聚點(diǎn)x=1,x=1.}1{}n有一個(gè)聚點(diǎn)x=0.(a,b)內(nèi)的點(diǎn)都是它的聚點(diǎn),所以開(kāi)區(qū)間集(a,b)。liman=0,存在N0,使得當(dāng)nN時(shí)有[an,bn]204。165。[an+1,bn+1],n=1,2,L。N有|aman|163。[an,bn](n=1,2,L)是區(qū)間套{[an,bn]}所確定的點(diǎn),則對(duì)任給的e0,存在N0,使得當(dāng)nN時(shí)有[an,bn]204。lim(bnan)=0n174。也滿足an163。bn,n=1,2,xx162。n174。n174。L163。L163。[an,bn],n=1,2,L,即 證: 先證存在性an163。[an+1,bn+1],n=1,2,L。=526sin2t, 222。2tgt247。5x53tgt5sint1====222253tgt2f(x)=2x+32230。(165。tgt, t206。4, 222。 關(guān)于x的二次方程 2yx25x+3y=0有實(shí)數(shù)根.\ D=5224y2179。(0)=0163。4 具有某些特性的函數(shù)(1時(shí))一、有界函數(shù): 驗(yàn)證函數(shù) f(x)=5x2x2+由2x2+3=(2x)2+(3)2179。232。10,236。x163。2, 為例介紹239。239。infS163。 infS是A的下界, 222。 infS179。B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x179。 supA163。y206。infA..例4 x206。254。, x206。)等都是無(wú)界數(shù)集,如集 合 E=237。)也是有界數(shù)集.{}二、無(wú)界數(shù)集: 定義,(165。(1+x)1+nx.⑷利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式: 對(duì)h0, 由二項(xiàng)展開(kāi)式(1+h)=1+nh+nnn(n1)2n(n1)(n2)3h+h+L+hn, 2!3!有(1+h) [1]P4: 3，4，5，6；167。N且n179。 G(ai)163。i=1248。a213。ai,(算術(shù)平均值)nni=G(ai)=na1a2Lan=231。2ab, sinx 163。R,ba0,$n206。而當(dāng)x=a0為正整數(shù)時(shí),則記x=(a01).9999L。1 實(shí) 數(shù)（1時(shí)）一．實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：: 為了把有限小數(shù)(包括整數(shù))表示為無(wú)限小數(shù), 規(guī)定: 對(duì)于正有限小數(shù)(包括正整數(shù))x,x=,其中0163。第二學(xué)期186=108。只要在課堂上專(zhuān)心聽(tīng)講,一般是可以聽(tīng)得懂的,但即便能聽(tīng)懂,只了解基本的理論和方法,不輔以相應(yīng)的技巧,也是重要的內(nèi)容之一,能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)書(shū)寫(xiě)出來(lái)，, 理解證明的思維方式,學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書(shū)寫(xiě)證明的一般語(yǔ)言和格式, , 建議的學(xué)習(xí)方法是:課前要復(fù)習(xí),做好必要的聽(tīng)課準(zhǔn)備。2tgt+1=5sint126costsect== 526sin2t, 222。332tgt2=533tgt2246。3f(x)=5x2x+325=230。(165。tgt, t206。4, 222。 關(guān)于x的二次方程 2yx225x+3y=\ D=524y179。(0)=0163。x+2, +1, , +2.[4]P407 ::: : 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則⑴ f(x)是初等函數(shù), 因?yàn)?f(x)=(f(x))2.⑵ F(x)=max{f(x), g(x)} 和 f(x)=min{f(x), g(x)}都是初等函數(shù), 因?yàn)?F(x)=max{f(x), g(x)}= f(x)=min{f(x), g(x)} = ⑶ 冪指函數(shù) (f(x)) (f(x))g(x)1212[f(x)+g(x)+[f(x)+g(x)f(x)g(x)] , f(x)g(x)].g(x)(f(x)0)是初等函數(shù),因?yàn)間(x)=eln(f(x))=eg(x)lnf(x).: 驗(yàn)證函數(shù) f(x)=225x2x+ 由2x+3=(2x)+(3)179。10,238。1x, x 2f(x)=237。238。2238。 2 初等函數(shù)(3時(shí))::[1]P10—: ::一 一 對(duì)應(yīng), :236。infA。A, 222。 x179。S,有x206。 supA163。B,都有x163。(0,p)}.則supE=________, infE= 非空有界數(shù)集的上（或下） 設(shè)S和A是非空數(shù)集， supS179。1+n238。1252。),(165。(165。2時(shí), 有嚴(yán)格不等式(1+x)n1+nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1+x0且1+x185。 M(ai),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)成立.⑶Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò))x1,有不等式(1+x)n179。H(ai)=n1=1n=nna+1+L+111229。ai247。1a2Lan231。 163。N, 39。只要在課堂上專(zhuān)心聽(tīng)講, 一般是可以聽(tīng)得懂的, 但即便能聽(tīng)懂, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應(yīng)的技巧, ,也是重要的內(nèi)容之一, ，能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)書(shū)寫(xiě)出來(lái)，, 理解證明的思維方式, 學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書(shū)寫(xiě)證明的一般語(yǔ)言和格式, , 建議的學(xué)習(xí)方法是: 預(yù)習(xí), 課堂上認(rèn)真聽(tīng)講, 必須記筆記, 但要注意以聽(tīng)為主, 力爭(zhēng)在課堂上能聽(tīng)懂七、, 先認(rèn)真整理筆記, 補(bǔ)充課堂講授中太簡(jiǎn)或跳過(guò)的推導(dǎo), 閱讀教科書(shū), , , :: , 本課程主要從以下教科書(shū)中取材:[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991；[3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999；[4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類(lèi)型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999；[5] , Principles of mathematical analysis, [1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3], ，[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，, 課時(shí)緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類(lèi)型或較簡(jiǎn)的推理論證及推導(dǎo)計(jì)算, 可能講得很簡(jiǎn), : 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、, 具有代表性的證明方法, 、二章教學(xué)中, 可能會(huì)寫(xiě)出某些定理證明, 、輔導(dǎo)及考試：: 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, , , : 3(國(guó)外這個(gè)比例通常是 1 : 《西北師大報(bào)》№191，:本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人材 ——: 伯利克大學(xué)乃美國(guó)加州大學(xué)伯利克分校.)對(duì)將來(lái)從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來(lái)說(shuō), 課堂聽(tīng)講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:要認(rèn)真評(píng)價(jià)教師的課堂教學(xué), :作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題和[4], , , , 180。π),稱(chēng)其為向量a的三個(gè)方向角，并稱(chēng)cosa ,cosb,cosg為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示為cosa=且cos2a+cos2a1a+a+a212223, cosb=a2a+a+a212223, cosg=a3a+a+a212223，b+cos2g=（（，讓學(xué)生熟悉建模過(guò)程，、服務(wù)生活，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí).）（二）向量的叉積（30分鐘）設(shè)點(diǎn)O為一杠桿的支點(diǎn)，力F作用于杠桿上點(diǎn)P處，：.（這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）(1)定義 兩個(gè)向量a與b的叉積是一個(gè)向量，記作ab，它的模和方向分別規(guī)定如下：①ab=absinq 其中q是向量a與b的夾角；②ab的方向?yàn)榧却怪庇赼又垂直于b，并且按順序a,b,ab符合右手法則.（2）：ab=ba；分配律：(a+b)c=ac+bc；結(jié)合律：l(ab)=(la)b=a(lb)(其中l(wèi)為常數(shù)).講解例5（學(xué)生講解，考察學(xué)生對(duì)向量叉積定義的理解與應(yīng)用能力）（3）定理2：a∥b219。a1b1+a2b2+a3b3=0講解例2.（學(xué)生講解，考察學(xué)生對(duì)兩向量正交充分必要條件的理解與應(yīng)用能力）向量a與b的夾角余弦設(shè)a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k,則 cosq=a1b1+a2b2+a3b3ab =(0163。b)=(la)a；分配律：(a+b)π)，則稱(chēng)abcosq為向量a與b的數(shù) 量積，記作aa1a2a3==.b1b2b3引導(dǎo)學(xué)生看書(shū)、（師生共同完成，讓學(xué)生熟悉解題過(guò)程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）三、課堂練習(xí)（9分鐘）教材169頁(yè)1—5題.（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會(huì)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度。⑵向量的模：向量的大小稱(chēng)為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱(chēng)為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱(chēng)為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱(chēng)為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量, ⑴ 向量的加法① 三角形法則 若將向量a的終點(diǎn)與向量b的起點(diǎn)放在一起，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱(chēng)為向量a與b的和向量，記為a+.②平行四邊形法則 將兩個(gè)向量a和b的起點(diǎn)放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱(chēng)為a+：a+b=b+a； 結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運(yùn)算實(shí)數(shù)l與向量a的乘積是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量a與數(shù)l的乘積，記作la，并且規(guī)定：①la=l a；②當(dāng)l0時(shí)，la與a的方向相同；當(dāng)l0時(shí)，la與a的方向相反； ③當(dāng)l=0時(shí)，,m都是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律：結(jié)合律：l(ma)=(lm)a=m(la)；分配律：(l+m)a=la+ma , l(a+b)=la+.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個(gè)非零向量，則與a同向的單位向量ea= ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)l=1時(shí)，記(1)a=a，則a與a的方向相反，模相等，a稱(chēng)為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 ab=a +(1)，只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，ab即是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘）向徑及其坐標(biāo)表示⑴ 基本單位向量 i,j,k分