【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時(shí)當(dāng) ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時(shí)當(dāng) ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因?yàn)?所以 ,0 N??? ?作業(yè) 習(xí)題 7 一、歸結(jié)原則 167。 3 函數(shù)極限存在的條件 三、柯西收斂準(zhǔn)則 二、單調(diào)有界定理 一、歸結(jié)原則 的充要條件是 : 對(duì)于在 內(nèi)),( 0 ?xU ? 以 x0 為極限的 ,}{ nx任何數(shù)列 )(lim nn xf??極限 都存在 , 并且相等 . 證 (必要性 ) 設(shè) ,)(l i m0Axfxx ?? 則對(duì)任給 存,0??,0??在 有時(shí)當(dāng) ,||0 0 ???? xx定理 .),( 0 有定義在設(shè) ?xUf ?存在 )(lim0 xfxx ?.|)(| ??? Axf?}{ nx設(shè) ,),( 00 xxxU n ??? 那么對(duì)上述 存在 ,?有時(shí)當(dāng) , NnN ?,||0 0 ???? xx n所以 .|)(| ??? Axf n 這就證明了 .)(l i m Axf nn ???(充分性 )（下面的證法很有典型性，大家必須學(xué) 恒有 .)(l i m Axf nn ???0)( xxxf ?在若 時(shí) , 不以 A 為極限 , 則存在正數(shù) 設(shè)任給 ),(}{ 0 ?xUx n ?? ,0xx n ?會(huì)這種方法 .） .|)(| 0?? ?? Axf現(xiàn)分別取 ,2, 21 ?? nn ?????? ???存在相應(yīng)的 ),(,, 21 nnn xUxxxx ???? ?使得 .,2,1,|)(| 0 ???? nAxf n ?對(duì)于任意正數(shù) ),(, 0 ?? ? xUx ??存在 使得 ,0?,||0 0 nxx nn ?? ????這與 Axf nn ??? )(l i m矛盾 , 注 歸結(jié)原則有一個(gè)重要應(yīng)用： 若存在 ,),(}{},{ 000 xyxxxUyx nnnn ??? ?但是 ),(l i m)(l i m nnnn yfBAxf ???? ???)(l i m0xfxx ?則 不存在 . .l i m 0xx nn ???，不趨于時(shí)，但當(dāng) Axfn n )(??.)(l i m0Axfxx ??所以必有例 1 xxxx c o slim,1sinlim0 ???證明都不存在 . 解 11 0, 0 ,π2 π 2 π2nnxy nn? ? ? ??取 有,1s i nlim101s i nlimnnnn yx ???????故 xx1sinlim0? 不存在 . π2 π , 2 π ,2nnx n y n? ? ? ? ? ? ?同理可取 有,c o slim01c o slim nnnn yx ???? ???故 xx c o slim??不存在 . 密集的等幅振蕩 , 當(dāng)然不會(huì)趨于一個(gè)固定的值 . 為 了讓讀者更好地掌握其他五類極限的歸結(jié)原 則 ,我 們寫出 時(shí)的歸結(jié)原則如下： ?? 0xx1 1 1 1 xyxy1s in? 的圖象在 x = 0 附近作無(wú)比 從幾何上看， 義 , 則 定理 0)( xxf 在設(shè) 的某空心右鄰域 )( 0xU ?? 有定 作為一個(gè)例題 , 下面給出定理 的另一種形式 . 義 . Axfxx ??? )(lim 0那么的充要條件是任給嚴(yán)格遞減 ,),(}{ 000 xxxUx nn ?? ? ?的 .)(l i m Axf nn ???必有例 2 0)( xxf 在設(shè) 的某空心右鄰域 ),( 0 ?xU ?? 上有定 Axfxx ??? )(l i m000{ } ( ) , ,li m ( ) .nnnnx U x x xf x A???? ???? ? ???任給必有證 必要性應(yīng)該是顯然的 . 下面我們證明充分性 . ,0 時(shí)假若 ?? xx f(x) 不以 A 為極限 . 則存在正數(shù) 。|)(|,0, 0110111 ???? ??????? Axfxxx取},2m i n{ 012 xx ?? ??。|)(|,0, 022022 ?? ?????? Axfxxx},m i n{ 01 xxn nn ?? ???,),( 0 ?? xUx ???存在 .|)(| 0?? ?? Axf使,0???,0?這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列 ),(}{ 0 ?xUx n ???,|)(|, 00 ???? Axfxx nn 但這與條件矛盾 . 。|)(|,0, 00 ?? ?????? Axfxxx nnnn二、單調(diào)有界定理 定理 設(shè) f 為定義在 )( 0xU ?? 上的單調(diào)有界函數(shù) , 則右極限 .)(lim0存在xfxx ??證 不妨設(shè) f 在 .)( 0 遞減xU ?? 因?yàn)? f (x) 有界 , 故 使),( 0* xUx ????（能夠?qū)懗鲫P(guān)于 ,)(lim,)(lim0xfxf xxx ???? ?的單調(diào)有界定理 .） )(lim xfx ???)(s u p)( 0xfxUx ???存在 , 設(shè)為 A .由確界定義 , 對(duì)于 ,0???.)( * AxfA ??? ?,0, 00* 時(shí)當(dāng)令 ?? ????? xxxx由 f ( ) 的遞減性 , .)()( * ?? ?????? AAxfxfA這就證明了 .)(l i m0Axfxx ???對(duì)于單調(diào)函數(shù) , 歸結(jié)原則的條件就要簡(jiǎn)單得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx ??? 則上單調(diào)，在設(shè) ??存在的充要條件是存在一個(gè)數(shù)列 ,)(}{ 0,0 xxxUx nn ?? ? ??.)(l i m 存在使 nn xf??證 必要性可直接由歸結(jié)原則得出 , 下面證明充分 ,)(}{ 039。,0 xxxUx nn ?? ? ??設(shè) .)(l i m Axf nn ???.)( ?? ???? AxfA n對(duì)于任意 ),( 00 xxxUx N ?? ?? ).()( xffA N ??? ?,0 N??? ?故 當(dāng) 時(shí) , 有 Nn ?假設(shè) )(xf 遞減． 性 . ,0 xxx n ??又因?yàn)?),(1 NN ??所以 ,1 xx N ?使因此從而 .)()( 1 ???? Axfxf N.)( ?? ???? AxfA.)(lim0Axfxx ???即?? ))(xfy ?xNx1Nx x0xOy??A??AA三、柯西收斂準(zhǔn)則 有定義 , 則極限 )(lim xfx ???存在的充要條件是 : 任 ),(,0 MX ?? 存在給 ? 均有對(duì)于任意 , 21 Xxx ?.|)()(| 21 ??? xfxf定理 設(shè) f (x) 在 ?? 的某個(gè)鄰域 }|{ Mxx ?上 ),( MX ?存在 對(duì)一切 x X， .2|)(| ??? Axf有所以對(duì)一切 , 21 Xxx ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | .f x f x f x A f x A ?? ? ? ? ? ?證（必要性） ,)(l i m Axfx ????設(shè)則對(duì)于任意 ,0??(充分性 ) ? ? 對(duì)一切，存在對(duì)任意的 ,0 MX ???有, 21 Xxx ?? ? ? ? .21 ??? xfxf，則存在任取 Nxx nn ???,}{ ,時(shí)當(dāng) Nn ?.)()( ??? mn xfxf? ?? ? ., 因此收斂是柯西列這就是說(shuō) nxf使若存在 ,},{,}{ ?????? nnnn yxyx.)}({ 發(fā)散，矛盾但 nzf,)(,)( ABByfAxf nn ???? ? 1 1 2 2, , , , ,n n nz x y x y x y則 令 為 ， ， ，.???nz顯然故, Mxx mn ? ,. 時(shí)又當(dāng) NmnXx n ??這樣就證明了對(duì)于任意的 ,},{ ???nn xx)(lim nn xf?? 存在且相等 .由歸結(jié)原則 , )(lim xfx ???存在 . 雖然以及是： ,}{,}{,00 nn yx?? ?， ?????? nn yx? ? ? ? .0??? nn yfxf但是 注 由柯西準(zhǔn)則可知 , 不存在的充要條件 lim ( )x fx? ??.1sinsin 0???? nn yx但是 不這就說(shuō)明 xx s i nlim ???,s i n xy ?對(duì)于 ,10 ??取例如 , π2 π ,2 π ,2nnx n y n? ? ?存在． 作業(yè) 習(xí)題 3 167。 4 兩個(gè)重要的極限 0sinlim 1xxx? ?一、 二、 1l i m 1 exx x??????????如圖，單位圓中,A OCOA BA OB SSS ?? ?? 扇形x y o B C A x 1 1 0s inlim 1xxx? ?一、 時(shí)，故當(dāng) a n2121s i n21.,. ????? xxxxei時(shí)，；當(dāng)有 02tans i n ????? xxxx ?.t a n)t a n(s i ns i n20 xxxxxx ???????????? ）（時(shí)，得有 ?. i n2 時(shí)成立等號(hào)僅當(dāng)時(shí)，故當(dāng) ???? xxxxx ?.21s i n2 xxx ???? ?? 時(shí)，又除之得用時(shí)且當(dāng) xxxxxx s i a ns i n,02 ???? ?xxxc os1s i n1 ??or1s i nc os ?? x xx.1s i nl i m 0 ?? xxx由此可得.1t a nl i m0?? xxxπ0sin sinlim lim 1 .πxtxtxt???? ? ??解 ? ?π , s in s in π s in ,t x x t t? ? ? ? ? ?令 所以 例 1 求 πsinlim .πxxx? ?例 2 .a r c ta nlim0 xxx ?求.1c o sl i ms i nl i mt a nl i ma r c t a nl i m0000???????tttttx xtttx＝則令 ,t an,ar c t an txxt ??解 .c o s1lim 20 xxx??求例 3 解 2202s in2limxxx ?? .21?20c o s1li mxxx??2022s i n21lim???????????? xxxe11lim ??????? ????xx x.e11l i m ??????? ????xx x和證 我們只需證明： ? ? 。,2,1,1,111 ?????????????? nnxnnxfn設(shè)兩個(gè)分段函數(shù)分別為 1l i m 1 exx x??????????二、 ? ? .,2,1,1,111??????????? ???nnxnnxgn顯然有? ? ? ? .),1[,11 ?????????? ?? x