數(shù)學(xué)分析中的極限問(wèn)題畢業(yè)論文終稿(編輯修改稿)
2025-05-04 02:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 預(yù)先指定多么小的正數(shù)，都能夠在數(shù)列中找到一項(xiàng)，使得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與的差的絕對(duì)值都小于，就把這個(gè)實(shí)數(shù)叫做數(shù)列的極限.數(shù)列極限定義 設(shè)為實(shí)數(shù)數(shù)列，為定數(shù)，任意，總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限. 不等式刻畫了與的無(wú)限接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)可以任意地小，說(shuō)明與可以接近到任何程度. 然而，盡管有其任意性，但一經(jīng)給出正整數(shù)就暫時(shí)地被確定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出，又既是任意小的正數(shù)，那么, 的平方等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義中不定式中的可用, 的平方等來(lái)代替. 同時(shí)，正由于是任意小正數(shù)，我們可限定小于一個(gè)確定的正數(shù).函數(shù)極限定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作. 數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過(guò)歸納和總結(jié)，本章將介紹幾種常見(jiàn)的極限求解方法，這些方法均有各自的特點(diǎn)，因?yàn)檫@些常見(jiàn)的方法是研究極限求解的基礎(chǔ)，.我們知道，在同一趨近過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；有界量乘以無(wú)窮小量等于無(wú)窮小量；有限個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和 、差、積仍為無(wú)窮小量，以及利用函數(shù)的連續(xù)性可以求出某些函數(shù)的極限.例1 求極限.解 當(dāng)時(shí)，分母的極限為0，而分子的極限不為0，可以先求出所給函數(shù)的倒數(shù)的極限 ,利用無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量，故 .例2 求極限.解 運(yùn)用極限運(yùn)算的四則運(yùn)算法則，有，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量，為有界量，所以,故.我們所熟悉的兩個(gè)重要極限是(i)則,(ii)則,其中，第一個(gè)重要極限是“”型；第二個(gè)重要極限是“”型.利用重要極限求函數(shù)極限時(shí)，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限的標(biāo)準(zhǔn)型或者它們的變形，這就要抓住重要極限公式的特征，并且能夠根據(jù)它們的特征，辨認(rèn)它們的變形，有時(shí)會(huì)利用到歸結(jié)原則.例3 求極限解 .例4 求極限.解 ，當(dāng)時(shí)，有,而由歸結(jié)原則（取）有,于是，由數(shù)列極限的迫斂性得. 定理1 若函數(shù)與滿足 (i) (ii) 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且； (iii) （可為實(shí)數(shù)，也可為或）,則 .例5 求極限
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