【文章內(nèi)容簡介】 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff當 πx ? 時 , 由于 ??? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn????? ? ? ???2221118 3 5? ? ? ? ?即0,x ?當 時 由 于? ? ? ? ?11( ( 0 + 0 ) ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) 0 ,22ff利用傅里葉級數(shù)展開式可求出幾個特殊級數(shù)的和 ,)12c o s ()12( 142)(12?????????nxnnxf?,4131211 222 ???????設21 22111,3 5 8?? ? ? ? ? ?,614121 2222 ?????? ,4131211 2223 ???????,44212???? ???? ,243212??? ???212 ,6?? ? ?? ? ? 23 1 2 .12?? ? ?? ? ?四、小結(jié) ，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理； 數(shù)． 作業(yè) 習題 7 上節(jié)討論了以 2? 為周期 , 或定義在 (?, ?) 上 ,然后作 2?周期延拓的函數(shù)的傅里葉展開式 . 本節(jié)討論更有一般性的以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開式 , 以及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉展開式 . 167。 2 以 2l 為周期的函數(shù)的展開式 一、以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 設 f 是以 2l 為周期的函數(shù) , 通過變量替換 : π ,πx l ttxl ??或??? ????( ) .πl(wèi)tF t ff [ , ]ll? F 若 在 上可積 , 則 在 [ π, π]?上也可積 , 這時函數(shù) F 的傅里葉級數(shù)展開式是 : 01( ) ( c os si n ) , ( 1 )2 nnnaF x a n x b n x?????就可以將 f 變換成以 為周期的關于變量 t 的函數(shù) 2π其中 (2) ππππ1( ) c os d , 1 , 2, ,π1( ) si n d t , 1 , 2, .πnna F t n t t nb F t n t n????????? πxt l ????????( ) ( ) .πl(wèi)tF t f f x因為 , 所以 于是由 (1)與 (2)式分別得 01π π( ) ( c os si n ), ( 3 )2 nnna n x n xf x a bll?????與 這里 (4)式是以 2l 為周期的函數(shù) f 的傅里葉系數(shù) , (3) 式是 f 的傅里葉級數(shù) . 若函數(shù) f 在 [ , ]ll? 上按段光滑 , 則同樣可由收斂定理 知道 1 π( ) c os d , 0, 1 , 2, ,1 π( ) si n d , 1 , 2, 3, .lnllnlnxa f x x nllnxb f x x nll????????(4)( 0 ) ( 0 )2f x f x? ? ?例 1 將函數(shù) 0, 5 0,()3, 0 5xfxx? ? ???? ???展開成傅里葉級數(shù) . 01π π( c os si n ). ( 5 )2 nnna n x n xabll??? ? ???( 5 , 5 ) ,f由 于 在 上 按 段 光 滑 因 此 可解 以 展 開 成 傅里葉級數(shù) .根據(jù) (4) 式 ,有 05501 π 1 π0 c o s d 3 c o s d5 5 5 5nn x n xa x x?? ? ???5035 πsin 0, 1 , 2, ,5 π5nx nn? ? ? ?550 5011 ( ) d 3 d 3 ,55a f x x x?? ? ???501 π3 sin d55nnxbx? ????? ? ?????5035 π 3 ( 1 c os π )c os5 π 5 πn x nnn?? ? ???? ?? ???6, 2 1 , 1 , 2, ,( 2 1 ) π0, 2 , 2 1 , 2, .n k kkn k k代入 (5)式 , 得 ??????? 13 6 ( 2 1 ) π( ) si n2 ( 2 1 ) π5kkxfxk??? ? ? ? ?????36 π 1 3 π 1 5 πsi n si n si n .2 π 5 3 5 5 5x x x( 5 , 0 ) ( 0 , 5 ) .x ??這里 0x ? 當 和 177。 5 時級數(shù)收斂于 二、偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù) [ , ]ll? ( ) c o sf x nx的 偶函數(shù) , 則在 上 , 是偶函數(shù) , ( ) s inf x nx是奇函數(shù) . 因此 , f 的傅里葉系數(shù) (4)是 01 π( ) c os d2 π( ) c os d , 0, 1 , 2, , ( 6 )1 π( ) si n d 0, 1 , 2, .lnlllnlnxa f x xllnxf x x nllnxb f x x nll????????? ???? ? ??????設 f 是以 2l 為周期的偶函數(shù) , 或是定義在 上 [ , ]ll?于是 f 的傅里葉級數(shù)只含有余弦函數(shù)的項 , 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右邊的級數(shù)稱為余弦級數(shù) . 01π( ) c os , ( 7 )2 nna nxf x al??? ?同理 , 若 f 是以 2l 為周期的奇函數(shù) , 或是定義在 [ , ]ll? 上的奇函數(shù) , 類似可推得 01 π( ) c os d 0, 0, 1 , 2, ,( 8 )2 π( ) si n d , 1 , 2, .lnllnnxa f x x nllnxb f x x nll??? ? ? ??????????所以當 f 是奇函數(shù)時 , 它的傅里葉級數(shù)只含有正弦 函數(shù)的項 , 即 1( ) si n , ( 9 )nnnxf x bl????其中 nb 如 (8) 式所示 . (9) 式右邊的級數(shù)稱為 正弦級 數(shù) . 若 l ??, 則偶函數(shù) f 所展開成的余弦函數(shù)為 01( ) c os , ( 10 )2 nnaf x a n x??? ?其中 當且 f 為奇函數(shù)時 , 則它展成的正弦級數(shù)為 ??? π02 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , .πna f x nx x n1( ) si n , ( 12 )nnf x b n x???其中 π02 ( ) sin d , ( 1 3 )πnb f x nx x? ?[0, ]? [0, ]l注 如何將定義在 上 (或更一般地 上 )的函 數(shù)展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù) ? 方法如下 : 首先將 定義在 [0, ]? 上的函數(shù)作偶式延拓或奇式延拓到 [ π, π]? 上 (如圖 158(a)或 (b)). 然后求延拓后函數(shù)的 傅里葉級數(shù) , 即得 (10)或 (12)形式 . 圖 158 (a) 偶式延拓 (b) 奇式延拓Oyxπ? πOyxπ?π也可以不作延拓直接使用公式 (11)或 (12), 計算出它 的傅里葉系數(shù) , 從而得到余弦級數(shù)或正弦級數(shù) . 例 2 設函數(shù) ? ? ? ?( ) | s in | , π π ,f x x x求 f 的傅里葉級數(shù)展開式 . 解 f 是 [ π, π]? 上的 偶函數(shù) , 圖 159 是 這函數(shù)及其周期延 拓的圖形 .由于 f 是 15 9?圖Oyxππ? 3π2π? 2π按段光滑函數(shù) , 因此可以展開成傅里葉級數(shù) , 而且 這個級數(shù)為余弦級數(shù) . 由 (10)式 (這時可把其中 “ ~” 01| si n | c os ,2 nnax a n x???? ?其中 ???0 024sin d ,ππa x x?π1 02 sin c o s d 0,πa x x x???改為“ ” )知道 ?ππ0022| s in | c o s d s in c o s dππna x nx x x nx x????π021 [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] dπ2 n x n x x? ? ? ??? ? ? ??212 [ c o s( 1 ) π 1 ] ( 1 )π1 nnn20, 3, 5, ,41, 2, 4, .π 1nnn???? ??????所以 ???? ?? 212 1 4| si n | c os 2π π 4 1mx m xm????? ? ? ? ? ? ???? ???? 212 c os 21 2 .,π 4 1mmx xm???????? ???? 21210 1 2 .π 4 1m m1 1 1 1 .2 1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )mm? ? ? ? ?? ? ? ?0x ?當 時 , 有 由此可得 1 , 0 ,1( ) , ,20, πxhf x x hhx?????????????解 函數(shù) f 如圖 1510所示 ,它是按段光滑函數(shù) , 因而 可以展開成正弦級數(shù) (12),其系數(shù) ????π0022( ) s in d s in dππ hnb f x nx x nx x例 3 求定義在 上的函數(shù) [0, π](其中 0 h )的正弦展開式 . πOyxh π11510 圖 02 c os 2 ( 1 c os ) .π πhnxnhnn???? ? ?????所以 ???? ? ? ? ??12 ( 1 c os )( ) si n , 0 , π.π nnhf x n x x h h xn0x ? xh?當 時 , 級數(shù)的和為 0。 當 時 , 有 ???? ???12 ( 1 c os ) 1 0 1si n .π 2 2nnh nhn15 11?圖Oyx22?6? 620 , 0 , 1 , 2 , ,nan??? ? ?? 202 π 4sin d c o s π22 πn nxb x x nn?? ? ?14 ( 1 ) , 1 , 2 , .π n nn()f x x? (0, 2)例 4 把 在 內(nèi)展開成 : (i) 正弦級數(shù) 。 (ii)余弦級數(shù) . 解 (i)為了把 f 展開 為正弦級數(shù) ,對 f 做奇式周期延 拓 (圖 1511), 并由公式 (8)有 所以當 ( 0 , 2 )x ? 時 , 由 (9) 及收斂定理得到 ???? ? ?? 114 π( ) ( 1 ) si nπ2nnnxf x xn4 π 1 2 π 1 3 πsi n si n si n . ( 14 )π 2 2 2 3 2x x x??? ? ? ?????但當 x=0, 2 時 , 右邊級數(shù)收斂于 0. 15 12?圖Oyx22? 46? 62(ii)為了將 f 展開成余弦級數(shù) ,對 f 做偶式延拓 ( 圖 1512).由公式 (6)得 f 的傅里葉系數(shù)為 0 , 1 , 2 , ,nbn??20 0 d 2,a x x???? ? ?? 2 2202 π4c o s d ( c o s π 1 )22 πn nxa x x nn224 [ ( 1 ) 1 ] , 1 , 2 , ,πn nn? ? ? ?或 2 1 2228 , 0 ( 1 , 2, ) .(