【正文】 x n x n x? ? ?所以 ?????01si n ( )nnnA A n x ????? ? ??01( si n c os c os si n ). ( 3 )n n n nnA A n x A n x??00 , sin , c o s , 1 , 2 , ,2 n n n n n naA A a A b n??記 ? ? ? ??????01( c os si n ) . ( 4 )2 nnna a n x b n x它是由 三角函數(shù)列 (也稱為三角函數(shù)系 ) 1 , c o s , s in , c o s 2 , s in 2 , , c o s , s in , ( 5 )x x x x nx nx所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù) . 容易驗證 ,若三角級數(shù) (4)收斂 ,則它的和一定是一 個以 為周期的函數(shù) . 2π則級數(shù) ( )可寫成 3?非正弦周期函數(shù) :矩形波 o tu???11?????????????tttu0,10,1)(當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個疊加 4 4 1 4 1 4 1s in , s in 3 , s in 5 , s in 7 ,3 5 7t t t t? ? ? ?? ? ?tu s i n4??)3s i n31(s i n4 ttu ?? ?)5s i n513s i n31(s i n4 tttu ??? ?)7s i n715s i n513s i n31(s i n4 ttttu ???? ?)9s i n917s i n715s i n513s i n31(s i n4 tttttu ????? ?)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ?????? tttttu ?)0,( ?????? tt由以上可以看到 ：一個比較復(fù)雜的周期運動可以看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加 . 關(guān)于三角級數(shù) (4)的收斂性有如下定理 : 定理 若級數(shù) ?????01|| ( | | | |) .2 nnna ab收斂 ,則級數(shù) (4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂 . 證 對任何實數(shù) x,由于 | c o s s in | | | | | ,n n n na n x b n x a b? ? ?根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法 , 就能得到本定理的結(jié)論 . 為進一步研究三角級數(shù) (4)的收斂性 , 先討論三角函 數(shù)系 (5) 的特性 . 首先容易看出三角函數(shù)系 (5)中所 其次 , 在三角函數(shù)系 (5)中 , 任何兩個不相同的函數(shù) ?? ????ππc o s d sin d 0, ( 6 )n x x n x xππππππc os c os d 0 ( ) ,si n si n d 0 ( ) , ( 7 )c os si n d 0 .m x n x x m nm x n x x m nm x n x x?????????? ??? ?????有函數(shù)具有共同的周期 2π.的乘積在 上的積分等于零 ,即 [ , ]???而 (5)中任何一個函數(shù)的平方在 [π, π] 上的積分都 不等于零 , 即 ??????????????π π22π ππ2πc os d sin d π ,( 8 )1 d 2 πn x x n x xx? ? [ , ]ab若兩個函數(shù) 與 在 上可積 , 且 ?? ( ) ( ) d 0ba x x x??? ? [ , ]ab [ , ]ab則稱 與 在 上是 正交 的 , 或在 上具有 正 交性 . 由此三角函數(shù)系 (4)在 [ π,π]? 上具有 正交性 . 或者說 (5)是正交函數(shù)系 . 現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系 (5)的正交性來討論三角級數(shù) (4) 的和函數(shù) f 與級數(shù) (4)的系數(shù) 0 ,nna a b之間的關(guān)系 . 定理 若在整個數(shù)軸上 ??? ? ??01( ) ( c os si n ) ( 9 )2 nnnaf x a n x b n x且等式右邊級數(shù)一致收斂 , 則有如下關(guān)系式 : ππ1 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , , ( 1 0 )πna f x nx x n a????二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2?ππ1 ( ) sin d , 1 , 2 , , ( 1 0 )πnb f x nx x n b??證 由定理條件 , 函數(shù) f 在 [ , ]??? 上連續(xù)且可積 . 對 (9)式逐項積分得 ??ππ ( )df x x?? ? ??? ? ??? ? ?π π π0π π π1d ( c os d si n d ) .2 nnna x a n x x b n x x由關(guān)系式 (6)知 , 上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零 . 所以 π 00π ( ) d 2 π π ,2af x x a? ? ? ??即 π0 π1 ( ) d .πa f x x?? ?又以 coskx 乘 (9)式兩邊 (k為正整數(shù) ), 得 0( ) c o s c o s2af x k x k x?1( c os c os si n c os ). ( 11 )nnna n x kx b n x kx?????從第十三章 167。他六歲開始上學(xué)， 14歲進入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)， 19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來繼承父志也當(dāng)一名牧師。（另一種幾何： 羅氏幾何 ） 微積分理論的創(chuàng)造性貢獻 黎曼除對幾何和復(fù)變函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對 l9世紀(jì)初興起的完善微積分理論的杰出貢獻載入史冊。 那個未解決的問題現(xiàn)稱為 “ 黎曼猜想 ” (希爾伯特 23個問題中的第 8個問題 )，這個問題迄今沒有人證明。不幸的是，父親去世過早，家境衰落。要想從一個不太抽象的角度，用幾句話就能概括勒貝格測度和勒貝格積分的概念及其在近代數(shù)學(xué)中的巨大作用，是極為困難的。因為埃爾米特表現(xiàn)出來的恐懼和厭惡差不多每個人都會感覺到，所以任何時候，只要當(dāng)我試圖參加一個數(shù)學(xué)討論會時，總會有些分析家說： ‘ 這不會使你感興趣的，我們在討論有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。高師是獨一無二的 ,她孕著革新的激情與反僵化的沖動 ,推動著歷屆政府的改革與完善。 1795年創(chuàng)辦 ,后由于政府更迭而幾經(jīng)改組、封閉。收斂性的困難大大地減少了。 1924年成為倫敦數(shù)學(xué)會榮譽會員。 代數(shù)幾何的開源貢獻 19世紀(jì)后半葉 ,人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。黎曼給出了一個連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關(guān)系。 1866年 7月 20日病逝于意大利，終年 39歲。 3 收斂定理的證明 本節(jié)來完成對傅里葉級數(shù)收斂定理的證明 , 先 證明兩個預(yù)備定理 . 預(yù)備定理 1 (貝塞爾 (Bessel)不等式 ) 若函數(shù) f 在 [ π, π]? 上可積 , 則 ???? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) ( ) d . ( 1 )2 πnnna a b f x x為 ,nnab f其中 的傅里葉系數(shù) . (1)式稱為貝塞爾不等 式 . 貝塞爾（ 1784～ 1846） Bessel德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家 。 1809年被封為爵士 ,1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書。傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）的創(chuàng)始人。 1 習(xí)題 4知道 , 由級數(shù) (9)一致收斂 ,可 得級數(shù) (11)也一致收斂 . 于是對級數(shù) (11)逐項求積 , 有 ??ππ ( ) c os df x kx xπ π0π π1c os d ( c os c os d2 nna kx x a n x kx x??? ??? ???由三角函數(shù)的正交性 , 右邊除了以 ka 為系數(shù)的那一 項積分 ? ??π 2π c os d πkx x外 ,其他各項積分都等于 0,于是 ππ ( ) c os d π ( 1 , 2, ) .kf x kx x a k? ???ππ sin c os d ) .nb n x kx x?? ?即 ????ππ1 ( ) c o s d ( 1 , 2 , ) .πka f x k x x k同理 ,(9)式兩邊乘以 sin kx,并逐項積分 , 可得 ππ1 ( ) s in d ( 1 , 2 , ) .πkb f x k x x k????2π [ , ]???由此可知 , 若 f 是以 為周期且在 上可積的 na nb函數(shù) , 則可按公式 (10)計算出 和 , 它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系 (5) ) 的 傅里葉系數(shù) ,以 f 的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) (9)稱為 f (關(guān)于三角函數(shù) 系 ) 的 傅里葉級數(shù) , 記作 01( ) ( c os si n ). ( 12 )2 nnnaf x a n x b n x?????這里記號 “ ~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級 數(shù) , 由定理 : 若 (9)式右邊的三角級數(shù)在整 個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , 則此三角級數(shù)就是 f 的傅里葉級數(shù) ,即此時 (12)式中的記號 “ ~”可換為 函數(shù) f 出發(fā) , 按公式 (10)求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級數(shù) (12) , 這時還需討論此級數(shù)是否收斂 . 如果收斂 , 是否收斂于 f 本身 ? 等號 . 然而 , 若從以 為周期且在 [ π, π]? 上可積的 2π[ π, π]? [ π , π ],x ??函數(shù) f 在 上按段光滑 , 則在每一點 f 的傅里葉級數(shù) (12)收斂于 f 在點 x 的左、右極限的 算術(shù)平均值 , 即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab其中 為 f 的傅里葉系數(shù) . 定理的證明將在 167。由于從小酷愛數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時也聽些數(shù)學(xué)課。 18世紀(jì)末到 l9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界開始關(guān)心微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴(yán)密性。 數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。在學(xué)校老師的幫助下進入中學(xué)?？梢赃@樣說，大家熟知的黎曼積分有如下若干缺點，嚴(yán)重地限制了積分概念在自然科學(xué)中的應(yīng)用。 ’ 或者一位幾何學(xué)家就會用他的語言說： ‘ 我們在討論有切平面的曲面。 ???????????? ?? ? ???? ???????? ???π00π1l i m ( ) si n d 0,2( 6 )1l i m ( ) si n d 0,2nnf x n x xf x n x x1si n c os si n si n c os ,2 2 2xxn x n x n x?? ? ? ?????π01( ) si n d2f x n x x?????????證 由于 所以 推論 2 若 f 為可積函數(shù) ,則 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???ππ00( ) c os si n d ( ) si n c os d22xxf x n x x f x n x x??????π π12π π( ) sin d ( ) c o s d , ( 7 )F x nx x F x nx x1( ) c os , 0 π ,() 20, π 0,xf x xFxx? ?????? ? ? ??2( ) si n , 0 π ,() 20, π 0.xf x xFxx? ?????? ? ? ??其中 式右端兩項積分的極限在 n ??時都等于零 . 所以 左邊的極限為零 . 同樣可以證明 ????????????0π1l i m ( ) si n d 0.2n f x n x x上可積 , 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 ()nSx可寫成 顯見 與 和 f 一樣在 上可積 .由推論 1,(7) 1F 2F [ π, π]?f [ π, π]?預(yù)備定理 2 若 是以 2 為周期的函數(shù) , 且在 π