【正文】 數(shù)或余弦級數(shù)的基本方法． 作業(yè) 習題 5 167。 20歲時發(fā)表了有關彗星軌道測量的論文。 證 令 01( ) ( c os si n )2mm n nnaS x a n x b n x?? ? ??考察積分 ? ??π 2π [ ( ) ( ) ] dmf x S x xπ π π22π π π( ) d 2 ( ) ( ) d ( ) d . ( 2 )mmf x x f x S x x S x x? ? ?? ? ?? ? ?π π0π π( ) ( ) d ( ) d2maf x S x x f x x?? ???由于 ππ1( ( ) c os d ( ) si n d ) ,mnnna f x n x x b f x n x x?????? ??根據(jù)傅里葉系數(shù)公式可得 ? ?? ? ??? π 2 2 20π 1π( ) ( ) d π ( ) . ( 3 )2mm n nnf x S x x a a b對于 2 ()mSx的積分 .應用三角函數(shù)的正交性 , 有 ??π 2π ( ) dmS x x? ???? ? ???????2π 0π 1( c os si n ) d2mnnna a n x b n x x? ? ???? ??? ? ??? ?????? ?? ? ?2π π π2 2 2 20π π π1d c os d si n d2mnnna x a n x x b n x x22201π π ( ) . ( 4 )2mnnna ab?? ? ??將 (3), (4)代入 (2)，可得 ????π 2π0 [ ( ) ( ) ] dmf x S x x? ?? ? ? ???2π2 2 20π 1π( ) d π ( ) .2mnnnaf x x a b因而 ??? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) [ ( ) ] d ,2 πmnnna a b f x x它對任何正整數(shù) m成立 . 而 π 2π1 [ ( ) ] dπ f x x?? 為有限值 , 所以正項級數(shù) 22201()2 nnna ab?????的部分和數(shù)列有界 , 因而它收斂且有不等式 (1)成立 . 推論 1 若 f 為可積函數(shù) , 則 πππ πl(wèi)i m ( ) c os d 0,( 5 )li m ( ) sin d 0,nnf x n x xf x n x x??????????????因為 (1)的左邊級數(shù)收斂 , 所以當 n ??時 , 通項 22 0nnab?? 0na ? 0nb ?, 亦即有 與 , 這就是 (5) 式 , 這個推論稱為 黎曼－ 勒貝格定理 . 1826年 9月 17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。黎曼被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數(shù)學。 因長年的貧困和勞累，黎曼在 1862年婚后不到一個月就開始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時間在意大利治病療養(yǎng)。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的 雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為 黎曼幾何 。黎曼由于在柏林大學師從狄利克雷研究數(shù)學 ,且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。關于連續(xù)與可微性的關系，柯西和他那個時代的幾乎所有的數(shù)學家都相信，而且在后來 50年中許多教科書都 “ 證明 ” :連續(xù)函數(shù)一定是可微的。 1859年，黎曼發(fā)表論文 《 在給定數(shù)之下的素數(shù)個數(shù) 》 。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。 組合拓撲的開拓者 在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓撲的零散結(jié)果，其中著名的如歐拉關于閉凸多面體的頂點、棱、面數(shù)關系的歐拉定理。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。 黎曼的工作直接影響了 19世紀后半期的數(shù)學發(fā)展，許多杰出的數(shù)學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學，成績優(yōu)秀，特別擅長計算。畢業(yè)后曾在南希一所中學任教。 1922年當選為法國科學院院士。 勒貝格是 20世紀法國最有影響的分析學家之一 ,也是實變函數(shù)論的重要奠基人。 他在 《 積分與原函數(shù)的研究 》 中還證明了有界函數(shù)黎曼可積的充要條件是不連續(xù)點構(gòu)成一個零測度集 ,因此從另外一個角度給出了黎曼可積的充要條件。 第二，黎曼可積的函數(shù)類甚為狹小，基本上是 “ 分段連續(xù)函數(shù) ” 構(gòu)成的函數(shù)類。按照勒貝格意義下的積分 ,可積函數(shù)類大大地擴張了；積分區(qū)域可以是比閉連通域復雜得多（ R或 Rn）的子集 。用他的積分理論來研究三角級數(shù) ,很容易地得到了許多重要定理 ,改進了到那時為止的函數(shù)可展為三角級數(shù)的充分條件 ,緊接著導數(shù)的概念也得到了推廣。 勒貝格在他的 《 工作介紹 》 中感慨地寫道： “ 對于許多數(shù)學家來說，我成了沒有導數(shù)的函數(shù)的人，雖然我在任何時候也不曾完全讓我自己去研究或思考這種函數(shù)。 勒貝格具有基于直觀幾何的深刻洞察力。 巴黎高等師范學校 巴黎高等師范學校，簡稱巴黎高師 ,是法國歷史最悠久的、一所培養(yǎng)教學和科研人員的高等?？茖W校 ,校址在巴黎 ,原名巴黎師范學校?？偨ㄖ娣e ，占地 200公頃，其中近 5公頃在巴黎行政區(qū)內(nèi)。阿尤 ,共和國總統(tǒng)蓬皮杜等。 1, (13) 式得到 則函數(shù) 在點 ?? ? ?( 0 ) ( 0 ) ,fx? ? 0t ?再令 右連續(xù) . 因 為 ? 在 上至多只有有限個第一類間斷點 , [0, π]所以 在 上可積 . 根據(jù)預備定理 1和推論 2, ? [0, π]?????????? ? ??π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] dπ2 si n2nntf x f x t tt????? ? ??????π011l i m ( ) si n d 0.π2n t n t t?這就證得 (12)式成立 , 從而 (10)式成立 . 用同樣方法可證 (11) 也成立 . 小結(jié) ，黎曼 勒貝格定理 . ． 作業(yè) 習題 5 級數(shù)習題課 常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 一 般 項 級 數(shù) 正 項 級 數(shù) 冪級數(shù) 三角級數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項 級 數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù) 泰勒級數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)滿足狄。 ???????????? ?? ? ???? ???????? ???π00π1l i m ( ) si n d 0,2( 6 )1l i m ( ) si n d 0,2nnf x n x xf x n x x1si n c os si n si n c os ,2 2 2xxn x n x n x?? ? ? ?????π01( ) si n d2f x n x x?????????證 由于 所以 推論 2 若 f 為可積函數(shù) ,則 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???ππ00( ) c os si n d ( ) si n c os d22xxf x n x x f x n x x??????π π12π π( ) sin d ( ) c o s d , ( 7 )F x nx x F x nx x1( ) c os , 0 π ,() 20, π 0,xf x xFxx? ?????? ? ? ??2( ) si n , 0 π ,() 20, π 0.xf x xFxx? ?????? ? ? ??其中 式右端兩項積分的極限在 n ??時都等于零 . 所以 左邊的極限為零 . 同樣可以證明 ????????????0π1l i m ( ) si n d 0.2n f x n x x上可積 , 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 ()nSx可寫成 顯見 與 和 f 一樣在 上可積 .由推論 1,(7) 1F 2F [ π, π]?f [ π, π]?預備定理 2 若 是以 2 為周期的函數(shù) , 且在 π??????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d , ( 8 )π2 si n2nntS x f x t tt當 t = 0 時 , 被積函數(shù)中的不定式由極限 ???????? ??01si n12lim22 si n2tntnt來確定 . ?? ? ??01( ) ( c os si n )2nn k kkaS x a kx b kx? ?? ?ππ1ππ11( ) ( ) d ( ) c os d c os2 ππ( ) si n d si nnnkS x f u u f u ku u kxf u ku u kx?????????????????? ?????? ? ???????ππ 111 ( ) c os c os si n si n dπ2nkf u ku kx ku kx u證 在傅里葉級數(shù)部分和 中 , 用傅里葉系數(shù)公式代入 , 可得 ππ 111 ( ) c os ( ) d .π 2nkf u k u x u? ???? ? ???????令 u x t??, 得 ππ 111( ) ( ) c os d .π 2nxn xks x f x t kt t??? ???? ? ???????[ , ]xx? ? ? ? ? [ , ]?? ?因此在 上的積分等于 上的積 分 , 再由第十二章 167。盡管飽經(jīng)歲月的磨煉，這所古老的學校在今天仍煥發(fā)著青春的活力，血管中仍流動著探索與創(chuàng)新的新鮮血液。 1808年 ,根據(jù)拿破侖一世的帝國敕令予以重建，成為培養(yǎng)國立中學教師的學校 ,1810年開始招生 , 1845年改現(xiàn)名。他的論文收集在 《 勒貝格全集 》中。 ’ 或者一位幾何學家就會用他的語言說： ‘ 我們在討論有切平面的曲面。 微積分中的牛頓 —萊布尼茨公式也得到了相應的新結(jié)論 ,一門微積分的延續(xù)學科 —實變函數(shù)論在他手中誕生了。 勒貝格曾對他的積分思想作過一個生動有趣的描述： “ 我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應還的數(shù)目，這就是我的積分。這些缺點不僅在泛函分析中導致嚴重困難，而且在無窮級數(shù)的逐項積分這種簡單問題上也導致了嚴重的困難?？梢赃@樣說，大家熟知的黎曼積分有如下若干缺點，嚴重地限制了積分概念在自然科學中的應用。他的工作使 19世紀在這個領域的研究大為改觀 ,特別是在博雷爾測度的基礎上建立了 “ 勒貝格測度 ” ,并以此為基礎對積分的概念作了最有意義的推廣 :即把被積函數(shù)定義的區(qū)間分成若干個勒貝格可測集 ,然后同樣作積分和 ,那么原來劃分子區(qū)間方法的積分和如果不收斂，則現(xiàn)在劃分為可測集的方法就有可能收斂。 1934年被選為英國皇家學會會員。1902－ 1906年任雷恩大學講師。在學校老師的幫助下進入中學。 1875年 6月 28日生于博韋， 1941年 7月 26日卒于巴黎。當時把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數(shù)論的工作。 數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼證明了此函數(shù)的一些重要