【正文】 Chapt 15 傅里葉級(jí)數(shù) 教學(xué)目標(biāo)： 1. 熟練掌握如何求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)； 2. 掌握以 2l為周期的函數(shù)的展開式； 3. 掌握收斂定理的證明 . 一個(gè)函數(shù)能表示成冪級(jí)數(shù)給研究函數(shù)帶來便利 , 但對(duì)函數(shù)的要求很高 (無限次可導(dǎo) ). 如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì) , 能否也可以用一些簡(jiǎn)單而又熟悉的函數(shù)組成的級(jí)數(shù)來表示該函數(shù)呢 ? 這就是將要討論的傅里葉級(jí)數(shù) . 傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用 . 167。 1 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉 (Fourier)法國(guó)數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。1768年 3月 21日生于歐塞爾 ,1830年 5月 16日卒于巴黎。最早使用定積分符號(hào) ,改進(jìn)符號(hào)法則及根數(shù)判別方法。傅立葉級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)）的創(chuàng)始人。 傅里葉是一個(gè)裁縫的兒子 ,8歲父母雙亡 ,被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。 12歲由一位主教送入地方軍事學(xué)校讀書。13歲時(shí)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。16歲就獨(dú)立發(fā)現(xiàn)笛卡爾符號(hào)法則的一個(gè)新證法。 傅里葉 17歲時(shí)（ 1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué) ,1794到巴黎 ,成為巴黎高等師范學(xué)校的首批學(xué)員 ,次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書 ,1801年回國(guó)后任伊澤爾省地方長(zhǎng)官。 1809年被封為爵士 ,1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書。后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。 傅里葉的主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交 《 熱的傳播 》論文 ,推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ,并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示 ,從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。 傅里葉在 1811年首先給出了級(jí)數(shù)收斂及級(jí)數(shù)和的正確定義 ,并指出了拉格朗日的一個(gè)錯(cuò)誤，通項(xiàng)趨近于零并非級(jí)數(shù)收斂的充要條件 ,而僅是必要條件。 1822年在代表作 《 熱的分析理論 》 中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題 ,成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一 ,對(duì) 19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 一、三角級(jí)數(shù) 正交函數(shù)系 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中 , 常會(huì)碰到一 種周期運(yùn)動(dòng) . 最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) , 可用正弦函數(shù) ??s in ( ) ( 1 )y A x??來描述 . 由 (1)所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng) , ? ?其中 A為 振幅 . 為 初相角 , 為 角頻率 , 于是簡(jiǎn)諧 振動(dòng) y 的 周期 是 2π .T ?? 較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) , 則 常常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) ? ? ?s in ( ) , 1 , 2 , ,k k ky A k x k n??11si n ( ). ( 2 )nnk k kkky y A k x????? ? ???ky2 π , 1 , 2, , ,T T k nk ?????????由于簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的周期為 所以函數(shù) (2)周期為 T. 對(duì)無窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行疊 加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ?????01si n ( ) . ( 3 )nnnA A n x??的疊加 若級(jí)數(shù) (3)收斂 , 則它所描述的是更為一般的周期運(yùn) 1?? 1??動(dòng)現(xiàn)象 . 對(duì)于級(jí)數(shù) (3), 只須討論 (如果 可 用 x? 代換 x )的情形 . 由于 ? ? ?s in ( ) s in c o s c o s s in ,n n nn x n x n x? ? ?所以 ?????01si n ( )nnnA A n x ????? ? ??01( si n c os c os si n ). ( 3 )n n n nnA A n x A n x??00 , sin , c o s , 1 , 2 , ,2 n n n n n naA A a A b n??記 ? ? ? ??????01( c os si n ) . ( 4 )2 nnna a n x b n x它是由 三角函數(shù)列 (也稱為三角函數(shù)系 ) 1 , c o s , s in , c o s 2 , s in 2 , , c o s , s in , ( 5 )x x x x nx nx所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù) . 容易驗(yàn)證 ,若三角級(jí)數(shù) (4)收斂 ,則它的和一定是一 個(gè)以 為周期的函數(shù) . 2π則級(jí)數(shù) ( )可寫成 3?非正弦周期函數(shù) :矩形波 o tu???11?????????????tttu0,10,1)(當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個(gè)疊加 4 4 1 4 1 4 1s in , s in 3 , s in 5 , s in 7 ,3 5 7t t t t? ? ? ?? ? ?tu s i n4??)3s i n31(s i n4 ttu ?? ?)5s i n513s i n31(s i n4 tttu ??? ?)7s i n715s i n513s i n31(s i n4 ttttu ???? ?)9s i n917s i n715s i n513s i n31(s i n4 tttttu ????? ?)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ?????? tttttu ?)0,( ?????? tt由以上可以看到 ：一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 . 關(guān)于三角級(jí)數(shù) (4)的收斂性有如下定理 : 定理 若級(jí)數(shù) ?????01|| ( | | | |) .2 nnna ab收斂 ,則級(jí)數(shù) (4)在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂 . 證 對(duì)任何實(shí)數(shù) x,由于 | c o s s in | | | | | ,n n n na n x b n x a b? ? ?根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 , 就能得到本定理的結(jié)論 . 為進(jìn)一步研究三角級(jí)數(shù) (4)的收斂性 , 先討論三角函 數(shù)系 (5) 的特性 . 首先容易看出三角函數(shù)系 (5)中所 其次 , 在三角函數(shù)系 (5)中 , 任何兩個(gè)不相同的函數(shù) ?? ????ππc o s d sin d 0, ( 6 )n x x n x xππππππc os c os d 0 ( ) ,si n si n d 0 ( ) , ( 7 )c os si n d 0 .m x n x x m nm x n x x m nm x n x x?????????? ??? ?????有函數(shù)具有共同的周期 2π.的乘積在 上的積分等于零 ,即 [ , ]???而 (5)中任何一個(gè)函數(shù)的平方在 [π, π] 上的積分都 不等于零 , 即 ??????????????π π22π ππ2πc os d sin d π ,( 8 )1 d 2 πn x x n x xx? ? [ , ]ab若兩個(gè)函數(shù) 與 在 上可積 , 且 ?? ( ) ( ) d 0ba x x x??? ? [ , ]ab [ , ]ab則稱 與 在 上是 正交 的 , 或在 上具有 正 交性 . 由此三角函數(shù)系 (4)在 [ π,π]? 上具有 正交性 . 或者說 (5)是正交函數(shù)系 . 現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系 (5)的正交性來討論三角級(jí)數(shù) (4) 的和函數(shù) f 與級(jí)數(shù) (4)的系數(shù) 0 ,nna a b之間的關(guān)系 . 定理 若在整個(gè)數(shù)軸上 ??? ? ??01( ) ( c os si n ) ( 9 )2 nnnaf x a n x b n x且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂 , 則有如下關(guān)系式 : ππ1 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , , ( 1 0 )πna f x nx x n a????二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 2?ππ1 ( ) sin d , 1 , 2 , , ( 1 0 )πnb f x nx x n b??證 由定理?xiàng)l件 , 函數(shù) f 在 [ , ]??? 上連續(xù)且可積 . 對(duì) (9)式逐項(xiàng)積分得 ??ππ ( )df x x?? ? ??? ? ??? ? ?π π π0π π π1d ( c os d si n d ) .2 nnna x a n x x b n x x由關(guān)系式 (6)知 , 上式右邊括號(hào)內(nèi)的積分都等于零 . 所以 π 00π ( ) d 2 π π ,2af x x a? ? ? ??即 π0 π1 ( ) d .πa f x x?? ?又以 coskx 乘 (9)式兩邊 (k為正整數(shù) ), 得 0( ) c o s c o s2af x k x k x?1( c os c os si n c os ). ( 11 )nnna n x kx b n x kx?????從第十三章 167。 1 習(xí)題 4知道 , 由級(jí)數(shù) (9)一致收斂 ,可 得級(jí)數(shù) (11)也一致收斂 . 于是對(duì)級(jí)數(shù) (11)逐項(xiàng)求積 , 有 ??ππ ( ) c os df x kx xπ π0π π1c os d ( c os c os d2 nna kx x a n x kx x??? ??? ???由三角函數(shù)的正交性 , 右邊除了以 ka 為系數(shù)的那一 項(xiàng)積分 ? ??π 2π c os d πkx x外 ,其他各項(xiàng)積分都等于 0,于是 ππ ( ) c os d π ( 1 , 2, ) .kf x kx x a k? ???ππ sin c os d ) .nb n x kx x?? ?即 ????ππ1 ( ) c o s d ( 1 , 2 , ) .πka f x k x x k同理 ,(9)式兩邊乘以 sin kx,并逐項(xiàng)積分 , 可得 ππ1 ( ) s in d ( 1 , 2 , ) .πkb f x k x x k????2π [ , ]???由此可知 , 若 f 是以 為周期且在 上可積的 na nb函數(shù) , 則可按公式 (10)計(jì)算出 和 , 它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系 (5) ) 的 傅里葉系數(shù) ,以 f 的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) (9)稱為 f (關(guān)于三角函數(shù) 系 ) 的 傅里葉級(jí)數(shù) , 記作 01( ) ( c os si n ). ( 12 )2 nnnaf x a n x b n x?????這里記號(hào) “ ~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí) 數(shù) , 由定理 : 若 (9)式右邊的三角級(jí)數(shù)在整 個(gè)數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , 則此三角級(jí)數(shù)就是 f 的傅里葉級(jí)數(shù) ,即此時(shí) (12)式中的記號(hào) “ ~”可換為 函數(shù) f 出發(fā) , 按公式 (10)求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級(jí)數(shù) (12) , 這時(shí)還需討論此級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果收斂 , 是否收斂于 f 本身 ? 等號(hào) . 然而 , 若從以 為周期且在 [ π, π]? 上可積的 2π[ π, π]? [ π , π ],x ??函數(shù) f 在 上按段光滑 , 則在每一點(diǎn) f 的傅里葉級(jí)數(shù) (12)收斂于 f 在點(diǎn) x 的左、右極限的 算術(shù)平均值 , 即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab其中 為 f 的傅里葉系數(shù) . 定理的證明將在 167。 3中進(jìn)行 . 定理 (傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理 ) 若以 為周期的 2π三、收斂定理 注 盡管傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級(jí)數(shù) ,但它對(duì) 函數(shù)的要求卻比冪級(jí)數(shù)要低得多 , 所以應(yīng)用更廣 . 而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉 . 注： 1. 若 f 的導(dǎo)函數(shù)在 [ , ]ab上連續(xù) , 則稱 f在 [a, b]上 光 滑 . 2. 如果定義在 [ , ]ab 上函數(shù) f 至多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn) ,其導(dǎo)函數(shù)在 [a, b]上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存 在且連續(xù) , 并且在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù) f? 的左、右 極限存在 , 則稱 f 在 [ , ]ab上 按段光滑 . 在 [a, b]上按段光滑的函數(shù) f ,有如下 重要性質(zhì) : (i) f 在 [ , ]ab上可積