【正文】 性質(zhì)，并簡要地?cái)嘌粤似渌男再|(zhì)而未予證明。黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的充分必要條件。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對(duì)完善分析理論產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。 18世紀(jì)末到 l9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界開始關(guān)心微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴(yán)密性。 黎曼幾何的創(chuàng)始人 黎曼對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場(chǎng)深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對(duì)現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學(xué)和科學(xué)各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。 黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。 1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。由于從小酷愛數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)也聽些數(shù)學(xué)課。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。 1784 年 7 月 22日生于明登 ， 1846 年 3月 17日卒于哥尼斯堡。 5 時(shí)級(jí)數(shù)收斂于 二、偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) [ , ]ll? ( ) c o sf x nx的 偶函數(shù) , 則在 上 , 是偶函數(shù) , ( ) s inf x nx是奇函數(shù) . 因此 , f 的傅里葉系數(shù) (4)是 01 π( ) c os d2 π( ) c os d , 0, 1 , 2, , ( 6 )1 π( ) si n d 0, 1 , 2, .lnlllnlnxa f x xllnxf x x nllnxb f x x nll????????? ???? ? ??????設(shè) f 是以 2l 為周期的偶函數(shù) , 或是定義在 上 [ , ]ll?于是 f 的傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng) , 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右邊的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù) . 01π( ) c os , ( 7 )2 nna nxf x al??? ?同理 , 若 f 是以 2l 為周期的奇函數(shù) , 或是定義在 [ , ]ll? 上的奇函數(shù) , 類似可推得 01 π( ) c os d 0, 0, 1 , 2, ,( 8 )2 π( ) si n d , 1 , 2, .lnllnnxa f x x nllnxb f x x nll??? ? ? ??????????所以當(dāng) f 是奇函數(shù)時(shí) , 它的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦 函數(shù)的項(xiàng) , 即 1( ) si n , ( 9 )nnnxf x bl????其中 nb 如 (8) 式所示 . (9) 式右邊的級(jí)數(shù)稱為 正弦級(jí) 數(shù) . 若 l ??, 則偶函數(shù) f 所展開成的余弦函數(shù)為 01( ) c os , ( 10 )2 nnaf x a n x??? ?其中 當(dāng)且 f 為奇函數(shù)時(shí) , 則它展成的正弦級(jí)數(shù)為 ??? π02 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , .πna f x nx x n1( ) si n , ( 12 )nnf x b n x???其中 π02 ( ) sin d , ( 1 3 )πnb f x nx x? ?[0, ]? [0, ]l注 如何將定義在 上 (或更一般地 上 )的函 數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù) ? 方法如下 : 首先將 定義在 [0, ]? 上的函數(shù)作偶式延拓或奇式延拓到 [ π, π]? 上 (如圖 158(a)或 (b)). 然后求延拓后函數(shù)的 傅里葉級(jí)數(shù) , 即得 (10)或 (12)形式 . 圖 158 (a) 偶式延拓 (b) 奇式延拓Oyxπ? πOyxπ?π也可以不作延拓直接使用公式 (11)或 (12), 計(jì)算出它 的傅里葉系數(shù) , 從而得到余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù) . 例 2 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?( ) | s in | , π π ,f x x x求 f 的傅里葉級(jí)數(shù)展開式 . 解 f 是 [ π, π]? 上的 偶函數(shù) , 圖 159 是 這函數(shù)及其周期延 拓的圖形 .由于 f 是 15 9?圖Oyxππ? 3π2π? 2π按段光滑函數(shù) , 因此可以展開成傅里葉級(jí)數(shù) , 而且 這個(gè)級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) . 由 (10)式 (這時(shí)可把其中 “ ~” 01| si n | c os ,2 nnax a n x???? ?其中 ???0 024sin d ,ππa x x?π1 02 sin c o s d 0,πa x x x???改為“ ” )知道 ?ππ0022| s in | c o s d s in c o s dππna x nx x x nx x????π021 [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] dπ2 n x n x x? ? ? ??? ? ? ??212 [ c o s( 1 ) π 1 ] ( 1 )π1 nnn20, 3, 5, ,41, 2, 4, .π 1nnn???? ??????所以 ???? ?? 212 1 4| si n | c os 2π π 4 1mx m xm????? ? ? ? ? ? ???? ???? 212 c os 21 2 .,π 4 1mmx xm???????? ???? 21210 1 2 .π 4 1m m1 1 1 1 .2 1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )mm? ? ? ? ?? ? ? ?0x ?當(dāng) 時(shí) , 有 由此可得 1 , 0 ,1( ) , ,20, πxhf x x hhx?????????????解 函數(shù) f 如圖 1510所示 ,它是按段光滑函數(shù) , 因而 可以展開成正弦級(jí)數(shù) (12),其系數(shù) ????π0022( ) s in d s in dππ hnb f x nx x nx x例 3 求定義在 上的函數(shù) [0, π](其中 0 h )的正弦展開式 . πOyxh π11510 圖 02 c os 2 ( 1 c os ) .π πhnxnhnn???? ? ?????所以 ???? ? ? ? ??12 ( 1 c os )( ) si n , 0 , π.π nnhf x n x x h h xn0x ? xh?當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)的和為 0。 1 習(xí)題 4知道 , 由級(jí)數(shù) (9)一致收斂 ,可 得級(jí)數(shù) (11)也一致收斂 . 于是對(duì)級(jí)數(shù) (11)逐項(xiàng)求積 , 有 ??ππ ( ) c os df x kx xπ π0π π1c os d ( c os c os d2 nna kx x a n x kx x??? ??? ???由三角函數(shù)的正交性 , 右邊除了以 ka 為系數(shù)的那一 項(xiàng)積分 ? ??π 2π c os d πkx x外 ,其他各項(xiàng)積分都等于 0,于是 ππ ( ) c os d π ( 1 , 2, ) .kf x kx x a k? ???ππ sin c os d ) .nb n x kx x?? ?即 ????ππ1 ( ) c o s d ( 1 , 2 , ) .πka f x k x x k同理 ,(9)式兩邊乘以 sin kx,并逐項(xiàng)積分 , 可得 ππ1 ( ) s in d ( 1 , 2 , ) .πkb f x k x x k????2π [ , ]???由此可知 , 若 f 是以 為周期且在 上可積的 na nb函數(shù) , 則可按公式 (10)計(jì)算出 和 , 它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系 (5) ) 的 傅里葉系數(shù) ,以 f 的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) (9)稱為 f (關(guān)于三角函數(shù) 系 ) 的 傅里葉級(jí)數(shù) , 記作 01( ) ( c os si n ). ( 12 )2 nnnaf x a n x b n x?????這里記號(hào) “ ~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí) 數(shù) , 由定理 : 若 (9)式右邊的三角級(jí)數(shù)在整 個(gè)數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , 則此三角級(jí)數(shù)就是 f 的傅里葉級(jí)數(shù) ,即此時(shí) (12)式中的記號(hào) “ ~”可換為 函數(shù) f 出發(fā) , 按公式 (10)求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級(jí)數(shù) (12) , 這時(shí)還需討論此級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果收斂 , 是否收斂于 f 本身 ? 等號(hào) . 然而 , 若從以 為周期且在 [ π, π]? 上可積的 2π[ π, π]? [ π , π ],x ??函數(shù) f 在 上按段光滑 , 則在每一點(diǎn) f 的傅里葉級(jí)數(shù) (12)收斂于 f 在點(diǎn) x 的左、右極限的 算術(shù)平均值 , 即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab其中 為 f 的傅里葉系數(shù) . 定理的證明將在 167。 1822年在代表作 《 熱的分析理論 》 中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題 ,成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一 ,對(duì) 19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。16歲就獨(dú)立發(fā)現(xiàn)笛卡爾符號(hào)法則的一個(gè)新證法。傅立葉級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)）的創(chuàng)始人。 Chapt 15 傅里葉級(jí)數(shù) 教學(xué)目標(biāo)： 1. 熟練掌握如何求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)； 2. 掌握以 2l為周期的函數(shù)的展開式； 3. 掌握收斂定理的證明 . 一個(gè)函數(shù)能表示成冪級(jí)數(shù)給研究函數(shù)帶來便利 , 但對(duì)函數(shù)的要求很高 (無限次可導(dǎo) ). 如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì) , 能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級(jí)數(shù)來表示該函數(shù)呢 ? 這就是將要討論的傅里葉級(jí)數(shù) . 傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用 . 167。最早使用定積分符號(hào) ,改進(jìn)符號(hào)法則及根數(shù)判別方法。13歲時(shí)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。 1809年被封為爵士 ,1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書。 傅里葉在 1811年首先給出了級(jí)數(shù)收斂及級(jí)數(shù)和的正確定義 ,并指出了拉格朗日的一個(gè)錯(cuò)誤，通項(xiàng)趨近于零并非級(jí)數(shù)收斂的充要條件 ,而僅是必要條件。 正交函數(shù)系 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中 , 常會(huì)碰到一 種周期運(yùn)動(dòng) . 最簡單的周期運(yùn)動(dòng) , 可用正弦函數(shù) ??s in ( ) ( 1 )y A x??來描述 . 由 (1)所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡諧振動(dòng) , ? ?其中 A為 振幅 . 為 初相角 , 為 角頻率 , 于是簡諧 振動(dòng) y 的 周期 是 2π .T ?? 較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) , 則 常常是幾個(gè)簡諧振動(dòng) ? ? ?s in ( ) , 1 , 2 , ,k k ky A k x k n??11si n ( ). ( 2 )nnk k kkky y A k x????? ? ???ky2 π , 1 , 2, , ,T T k nk ?????????由于簡諧振動(dòng) 的周期為 所以函數(shù) (2)周期為 T. 對(duì)無窮多個(gè)簡諧振動(dòng)進(jìn)行疊 加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ?????01si n ( ) . ( 3 )nnnA A n x??的疊加 若級(jí)數(shù) (3)收斂 , 則它所描述的是更為一般的周期運(yùn) 1?? 1??動(dòng)現(xiàn)象 . 對(duì)于級(jí)數(shù) (3), 只須討論 (如果 可 用 x? 代換 x )的情形 . 由于 ? ? ?s in ( ) s in c o s c o s s in ,n n nn x n x n x? ? ?所以 ?????01si n ( )nnnA A n x ????? ? ??01( si n c os c os si n ). ( 3 )n n n nnA A n x A n x??00 , sin , c o s , 1 , 2 , ,2 n n n n n naA A a A b n??記 ? ? ? ??????01( c os si n ) . ( 4 )2 nnna a n x b n x它是由 三角函數(shù)列