數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念-全文預(yù)覽
【正文】 。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個(gè)新概念有哪 七、一些例子 六、極限的四則運(yùn)算 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 四、保不等式性 三、保號(hào)性 二、有界性 些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運(yùn)用這些性質(zhì) . 返回返回 后頁 前頁 一、惟一性 定理 若 }{ na 收斂 , 則它只有一個(gè)極限 . 證 設(shè) .}{ 的一個(gè)極限是 naa 下面證明對(duì)于任何 定數(shù) .}{, 的極限不能是 nabab ?若 a， b 都是 { an } 的極限，則對(duì)于任何正數(shù) ? 0, 有時(shí)，當(dāng) 22 , NnN ??有時(shí)，當(dāng) 11 , NnN ??)1(。( ?aU多只有有限項(xiàng) , 設(shè)這些項(xiàng)的最大下標(biāo)為 N, 這就表 返回 后頁 前頁 { an } 的有限多項(xiàng) , 則稱數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實(shí)數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價(jià)說法 , 寫成定義就是 : 定義 139。 天下篇 》 引用了 一句話 : “一尺之棰 , 日取其半 , 萬世不竭” . 它的 意思是 : 一根長為一尺的木棒 , 每天截下一半 , 這 返回 后頁 前頁 21 1 1 1, , , , , .2 2 2 2nn??????或容易看出 : 數(shù)列 1122nn??????的通項(xiàng) 隨著 n 的無 限增 大而無限趨于 0 . 返回 后頁 前頁 三、收斂數(shù)列的定義 下面給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義 . 定義 1 {}na設(shè) 為一個(gè)數(shù)列 , a 為一個(gè)常數(shù) , 若對(duì)于 任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當(dāng) n N 時(shí) , 0? ?,|| ??? aa n則稱數(shù)列 收斂于 a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限 , {}na {}na一般地說 ,對(duì)于數(shù)列 , 若當(dāng) n 充分變大時(shí) , an {}na能無限地接近某個(gè)常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . {}na返回 后頁 前頁 記作 lim nn aa?? ?( , ) .na a n? ? ?或若 不收斂 , 則稱 為 發(fā)散數(shù)列 . {}na {}naxa1?Na1a 2a??a ??a( )na注 定義 1 這種陳述方式，俗稱為 “ ? N ”說法 . 返回 后頁 前頁 四、按定義驗(yàn)證極限 以說明 , 希望大家對(duì) “ ? N ”說法能 有正確的認(rèn)識(shí) . 例 1 用定義驗(yàn)證 : 1lim 0 .n n???分析 對(duì)于任意正數(shù) ,? 要使 1 0,n ? ? ?只要 .1??n證 對(duì)于任意的正數(shù) ? , 1 ,N ??? ?????取 ,nN?當(dāng) 時(shí)1 0,n ???所以 1li m 0 .n n???為了加深對(duì)數(shù)列收斂定義的了解 , 下面結(jié)合例題加 返回 后頁 前頁 lim 0 ( 0 | | 1 ) .nn qq?? ? ? ?例 2 用定義驗(yàn)證 分析 對(duì)于任意的正數(shù) ?, 要使 | 0 | ,nq ???只要 lo g .lo g | |n q??這就證明了 lim 0 .nn q?? ?| 0 | .nq ???證 0 ( 0 1 ) ,??不 妨 設(shè)? ? ? ?,nN當(dāng) 時(shí) 有?lo g ,lo g | |N q?取 ???????返回 后頁 前頁 22217 ,33 7 3 3 7nnn n n n???? ? ? ?（ ）7,n ?當(dāng) 時(shí) ,27 nn ?? 2 2 23 7 3 2 2 ,n n n n n? ? ? ? ?只要 即可 . 13n ??221l i m .337nnnn?? ???例 3 用定義驗(yàn)證 0 , ?任 給 由?分析 故要使 227 2 133 3 7 6nnnn n n?（ ）? ? ? ???成立 , 返回 后頁 前頁 證 對(duì)于任意的正數(shù) ? , 取 1ma x 7 , ,3N ?????? ????????, nN?當(dāng) 時(shí) 有221 ,337nnn?????即得 221l i m .337nnnn?? ???注意 解這個(gè)不等式是在 的條件下進(jìn)行的 . 7n?返回 后頁 前頁 1 n a? ? ?設(shè) 因 為? ? ,11 nnn na ?? ???? 所以 例 4 ,1lim ???nn a ?其 中用定義驗(yàn)證 a ???因此證得 .1lim ???nn a證 這里只驗(yàn)證 的情形（ 時(shí)自證） . 1?a 01a??.110 naann ??????故對(duì)于任意正數(shù) 1, , ,aN n N? ?取 當(dāng) 時(shí)?????????返回 后頁 前頁 五、再論 “ ? N ”說法 從 定義 及上面的例題我們可以看出 : 此外，又因 ? 是
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