數(shù)學(xué)分析之函數(shù)的連續(xù)性-全文預(yù)覽
【正文】 類 間 斷 點(diǎn)有一個(gè)不存在 , 證 因?yàn)? .一個(gè)可去間斷點(diǎn)例 3 處不連續(xù)，在 0?x??????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??0()f x x義 在 點(diǎn) 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點(diǎn)例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 若點(diǎn) x0是 的可去間斷點(diǎn) ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點(diǎn)？ 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( ) li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因?yàn)? 斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn) . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個(gè)間 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的 每一點(diǎn)都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)是指相應(yīng)的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對(duì)于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點(diǎn) ,函 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類的 , 能要添加或改變某些分段點(diǎn)處的值 ). 是由若干個(gè)小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當(dāng)然可 一個(gè) 按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點(diǎn)只有有限個(gè) ,那么稱 f 是 [a,b]上的 例 5 .0,0,0,0,1si n)(處連續(xù)在試證函數(shù) ????????? xxxxxxf證 ,01s i nl i m 0 ?? xxx?,0)0( ?f又由定義 2知 .0)( 處連續(xù)在函數(shù) ?xxf),0()(lim 0 fxfx ??例 6 .),(s i n 內(nèi)連續(xù)在區(qū)間函數(shù)證明 ????? xy證 ),( ?????x任取xxxy s i n)s i n ( ????? )2c o s (2s i n2 xxx ?????,1)2c o s ( ??? xx? ,2s i n2 xxy ?????故.0,0 ????? yx 時(shí)當(dāng).),(s i n 都是連續(xù)的對(duì)任意函數(shù)即 ?????? xxy例 7 .0,0,1 ,0,)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ???? ?? ??? xxx xxxf解 ,0)00( ??f ,1)0( ??f),00()00( ??? ff?.0 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)?? x o xy例 8 .1,1,11,10,1,2)(處的連續(xù)性在討論函數(shù)????????????xxxxxxxfo xy112xy ?? 1xy 2?解 ,1)1( ?f? ,2)01( ??f ,2)01( ??f2)(l i m 1 ?? ? xfx ),1(f?.1 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)?? x例 9 .0,0,0,1)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ????????? xxxxxxf解 o xy,0)00( ??f ,)0( ????f.0 為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)?? x.無(wú) 窮這 種 情 況 為 間 斷 點(diǎn)稱例 10 .01si n)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ?? xxxf解 xy 1sin?,0 處沒(méi)有定義在 ?x?.1s i nl i m 0 不存在且 xx ?.0 為第二類間斷點(diǎn)?? x.振 蕩這 種 情 況 為 間 斷 點(diǎn)稱?????,0,1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù) ★ 在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷 . 例 11 .0,0,0,co s)(,處連續(xù)在函數(shù)取何值時(shí)當(dāng)???????? xxxaxxxfa解 xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ?? ,a?,)0( af ??),0()00()00( fff ????要使,1 時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng) ?a .0)( 處連續(xù)在函數(shù) ?xxf,1?? a小結(jié) 。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 四、一致連續(xù)性 三、反函數(shù)的連續(xù)性 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 0xf 在點(diǎn)若函數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指 : 連續(xù) (左連續(xù)或右連續(xù) ),則可推知 f 在點(diǎn) x0 的某 號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì) . 個(gè)局部鄰域 (左鄰域或右鄰域 )內(nèi)具有有界性、保 0| ( ) | | ( ) | 1 .f x f x??0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí) 0| ( ) ( ) | 1 ,f x f x??故 | f (x) | 的一個(gè)明確的上界 . 0fx因?yàn)?在 連續(xù)， 存在所以對(duì) ,1?e證 ,0??1,e ?取 這 個(gè) 特 定 的 值注意 :我們?cè)谧C明有界性時(shí) , 0,e ?“ 對(duì) 于 任 意 的 ” 這 樣 可 求 得而不是用術(shù)語(yǔ) 0( ) .f U x在 某 鄰 域 上 有 界連續(xù)，在點(diǎn)若函數(shù) 0xf定理 （局部有界性） 則 ),0)(()( ???? rxfrxf 或00( , ) ,x x x??? ? ?當(dāng) 時(shí) 有,0??存在0 0 0| ( ) ( ) | ( ) ,f x f x f x re? ? ? ?000 ( ) ( ( ) 0 ) ,r f x f x r r? ? ? ? ?或 的 正 數(shù) 存 在0 ,fx若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 且定理 （ 局部保號(hào)性） ,)0)((0)( 00 ?? xfxf 或則對(duì)任意一個(gè)滿足 ? ?0 0 0,f x f x re ??因?yàn)?在 連續(xù) 所以對(duì)正數(shù)證 000 , ( , ) ,x x x? ? ?? ? ? ?當(dāng)時(shí).0)( ?? rxf 于是證得 ( 2 ) ( ) ( ) ,f x g x?( 1 ) ( ) ( ) ,f x g x?( ) , ( )f x g x若函數(shù)定理 （連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算） 則函數(shù)連續(xù)均在點(diǎn) ,0x0( 4 ) ( ) / ( ) , ( ) 0f x g x g x ?( 3 ) ( ) ( ) ,f x g x?0 .x在 點(diǎn) 也 是 連 續(xù) 的定理的證明可直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得到 . 01() nnP x a a x a x? ? ? ?也是連續(xù)函數(shù) . 我們知道 ,常函數(shù) 與線性函數(shù) 都是 R 上 y = c y = x的連續(xù)函數(shù) , 故由四則運(yùn)算性質(zhì) , 易知多項(xiàng)式函數(shù) 0101()()nnmma a x a xPxQ x b b x b x? ? ??? ? ?同理 ,有理函數(shù) (分母不為零 )同樣是連續(xù)函數(shù) .
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