[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析答案-全文預(yù)覽
【正文】 ?Mc aM Adxxhdxxh )()(l im， ? ?????? ??Ma aM Adxxgdxxg )()(l i m 由迫斂性定理： ? ??? ??? ??a MaM Adxxfdxxf )(l i m)( 。證明：若 ???a dxxf )(2與 ???a dxxg )(2收斂，則 ???a dxxgxf )()(與 ??? ?a dxxgxf 2)]()([也都收斂。綜合即知， ???a dxxf |)(| 與 ???a dxxg )( 同斂態(tài)。 推論 1 若 f 和 g 都在任何 ],[ ua 上可積， 1)( ?xg ，且 cxg xfx ??? )( |)(|lim，則有 （ I）當(dāng) ????c0 時(shí)， ???a dxxf |)(|與 dxxga??? )(同斂態(tài)； （ ii）當(dāng) 0?c 時(shí)，由 ???a dxxg )(收斂可推知， dxxfa |)(|???出收斂； （ iii）當(dāng) ???c 時(shí)，由 ???a dxxg )(發(fā)散可推知 ???a dxxf |)(|也發(fā)散。 由于 )(|)(| xgxf ? ， ),[ ???? ax ，因此更有 ? ? ??2121 )(|)(|uu uu dxxgdxxf ? 故 ???a dxxf |)(|收斂。 若 ???a dxxg )(發(fā)散，則 ??? ?A dxxgc )()( ?發(fā)散，而 |,)(|)()(0 xfxgc ??? 故 ???a dxxf |)(| 發(fā)散，即 ???a dxxf ||(| 發(fā)散。 設(shè) f 與 g 是定義在 [ ),??a 上的函數(shù)，對任何 au? ，它們在 ],[ ua 上都可積。 設(shè) f ， g ， h 是定義在 ),[ ??a 上的三個(gè)連續(xù)函數(shù)，且成立不等式 )()()( xgxfxf ??證明： （ 1）若 ???a dxxh )(與 ???a dxxg )(都收斂，則 ???a dxxf )(也收斂； （ 2）又若 ? ??? ?? ??a a Adxxgdxxh )()(，則 ???a dxxf( （ 1）由于 f ， g ， h 是定義在 ),[ ??a 上的三 個(gè)連續(xù)函數(shù)，故 hghf ?? , 必在有限區(qū)間 ],[ ua 上可積，又由 )()()( xgxfxh ?? 知 )()()()(|)()(| xhxgxhxfxhxf ????? 由已
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