【正文】 .)( 0 遞減xU ?? 因?yàn)? f (x) 有界 , 故 使),( 0* xUx ????（能夠?qū)懗鲫P(guān)于 ,)(lim,)(lim0xfxf xxx ???? ?的單調(diào)有界定理 .） )(lim xfx ???)(s u p)( 0xfxUx ???存在 , 設(shè)為 A .由確界定義 , 對(duì)于 ,0???.)( * AxfA ??? ?,0, 00* 時(shí)當(dāng)令 ?? ????? xxxx由 f ( ) 的遞減性 , .)()( * ?? ?????? AAxfxfA這就證明了 .)(l i m0Axfxx ???對(duì)于單調(diào)函數(shù) , 歸結(jié)原則的條件就要簡(jiǎn)單得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx ??? 則上單調(diào)，在設(shè) ??存在的充要條件是存在一個(gè)數(shù)列 ,)(}{ 0,0 xxxUx nn ?? ? ??.)(l i m 存在使 nn xf??證 必要性可直接由歸結(jié)原則得出 , 下面證明充分 ,)(}{ 039。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當(dāng),11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時(shí) , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因?yàn)? 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時(shí)當(dāng) ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時(shí)當(dāng) ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因?yàn)?所以 ,0 N??? ?作業(yè) 習(xí)題 7 一、歸結(jié)原則 167。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 在前面一節(jié)中引進(jìn)的六種類型的函數(shù)極限 ,它們都有類似于數(shù)列極限的一些性質(zhì) . 這里僅以 為代表 敘述并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可 . 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設(shè) 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l i m 0 Bxfxx ??由極限的定義，對(duì)于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時(shí)當(dāng) ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時(shí)當(dāng) ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質(zhì) 一 、 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m in { 021 時(shí)當(dāng)令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 定理 （局部有界性） 證 時(shí)，當(dāng)存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個(gè)空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說(shuō)明定理中 “局部” 這兩個(gè)字是關(guān)鍵性的 . 比較； 定理 （局部保號(hào)性） 若 ,)0(0)(l i m0???? 或Axfxx則對(duì)任何正數(shù) )( ArAr ??? 或 使得存在 ,)(, 0xU ?.)0)((0)( ????? rxfrxf 或.|)(| ??? Axf.)( rAxf ??? ?由此證得 有對(duì)一切 ,)( 0xUx ??有時(shí)，當(dāng)存在 ?? ???? ||0,0 0xx證 不妨設(shè) . 對(duì)于任何 取 ,rA ???0?A ( 0 , ),rA?定理 （保不等式性） )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? 與設(shè)則內(nèi)有且在某鄰域都存在 ,)()()(, 0 xgxfxU ??).(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ?證 那么對(duì)于任意設(shè) ,)(l im,)(l im00BxgAxf xxxx ?? ??。)(lim Axfx ???? 。. .)(l i m)(l i m00Axfxf xxxx ?? ?? ??）有定義，則（在設(shè) 0)( xUxf ?定理 180。?? ? 時(shí)當(dāng) )39。 1 函數(shù)極限概念 一、 x 趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 二、 x 趨于 x0時(shí)的函數(shù)極限 三、單側(cè)極限 作為數(shù)列極限的推廣 ,函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系 ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理 . .s i n 時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察函數(shù) ??xx x一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) 定義在 )(xf ? ???,aA)(xfxyO極限 . ??f (x)當(dāng) x 趨于 時(shí)以 A為 也無(wú)限地接近 A,我們就稱 無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) ,函數(shù) f (x) 上 ,當(dāng) x 沿著 x 軸的正向 x 趨于 例如 函數(shù) ,ar c t an xy ? 當(dāng) 時(shí) , ??xyπ210 20 30 40 O 1 為極限 . 以 xa rcta n π2記為 或者 l i m ( )x f x A? ? ? ?).()( ???? xAxf,)( ??? AxfAxxf 時(shí)以趨于當(dāng) ??)(則稱函數(shù) .為極限定數(shù) ,若對(duì)于任意正數(shù) 存在正數(shù) 使得 ，0?? ，)( aM ?,時(shí)Mx ?當(dāng)定義 1 ? ? ., 上的一個(gè)函數(shù)為定義在設(shè) ??af A 為 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?AxyO a定義比較與注 axAxf nnx ?? ????? l i m)(l i ax nn ???lim Axfx ???? )(lim函數(shù)定義域自變量變化趨勢(shì)函數(shù)值變化趨勢(shì)nxy ? )( xfy ?N ）（ ??,a??n ???xax n ? Axf ?)(0 , 0()X x Xf x A??? ? ? ? ???， 時(shí) ，有0,nN n Nxa??? ? ? ???， 時(shí) ，有定義 注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù) . 所以 (由定義 1), 例 1 證明 .01lim ???? xx 任給 取 證 ,0?? ,1??M ,時(shí)當(dāng) Mx ?,101 ????xx.01lim ???? xx例 2 .2a r c t a nl i m ????? xx證明證 任給 ),2(0 ??? ?? ).2t a n( ?? ??M取這就是說(shuō) πl(wèi)im a r c t a n .2x x? ? ? ?時(shí)，當(dāng) Mx ? 嚴(yán)格增，因?yàn)?xar c t anπ π( ) ar c t an22f x x? ? ?π π( ) .22? ? ? ???,)( ??? Axf定義 2 ? ? ,)( 上定義在設(shè) bxf ??.是一個(gè)常數(shù)A,0?? ,0?M存在 ()x M b? ? ?當(dāng) 時(shí)若對(duì)于任意記為 Axxf 時(shí)以當(dāng) ???)( ,為極限則稱 Axfx ???? )(l i m 或 ).()( ???? xAxf證 對(duì)于任意正數(shù) ),10( ?? ?? ,ln ???M取lnx ?當(dāng) 時(shí)?則 例 3 求證 l i m e ??? ?.e0e ???? xx.0elim ???? xx為極限，時(shí)以當(dāng)則稱 Axxf ??)(記為 ,)( ??? Axf定義 3 A ,)()( 內(nèi)的某個(gè)鄰域定義在設(shè) ?? Uxf存在 當(dāng) ，0?M,0??.為一個(gè)常數(shù) 若對(duì)于任意xM? 時(shí)Axfx ??? )(lim 或 ).()( ??? xAxf例 4 求證 .01 1l i m 2 ???? xx22110,1 xx ?? ? ??所以 ,1??M 有時(shí)當(dāng) ,Mx ?證 對(duì)于任意正數(shù) ? , 可取 .01 1l i m 2 ???? xxxxy sin?例 5 .0si nlim ??? xxx證明證 x xx x si n0si n ??? x1? X1? ,??,0??? ,1??X取 時(shí)恒有則當(dāng) Xx ?,0si n ???x x .0si nlim ??? xxx故.)(,)(l i m:的圖形的水平漸近線是函數(shù)則直線如果定義 xfycycxfx?????xxy sin?幾何解釋 : ???X? X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線直線圖形完全落在以函數(shù)時(shí)或當(dāng)??????AyxfyXxXxA從定義 2 、 3 不難得到 : .)(lim)(lim Axfxf xx ?? ??????定理 ?定義在 則的一個(gè)鄰域內(nèi)，)(xfxx a r c t a nl i m??則由定理 ， .不存在Axfx ??? )(lim 的充要條件是： π πl(wèi)im a r c t a n , lim a r c t a n ,22xx xx? ? ? ? ? ?? ? ?例如 二、 x趨于 x0時(shí)的函數(shù)極限 ,39。xx xx? ?0 0( 2 ) l i m c os c os .xx xx? ?.0 時(shí)成立上式中的等號(hào)僅在 ?xπ ,2x ?因 為 當(dāng) 時(shí) ,0,1s i n ??? xxx 故對(duì)一切R.,s i n ?? xxx.s in xx ? ,sin x 故均是奇函數(shù) ,x又因?yàn)橛?00si n si n 2 c os si n22x x x xxx ????對(duì)于任意正數(shù) ,?? ?取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx,?0 ,xx ?? ? ?.s i ns i nl i m 00xxxx ??同理可證 : .c o sc o slim 00xxxx ??所以例 9 證明： ).1||(11lim 02020????? xxxxx證 因?yàn)? 22 000 220| || |1111x x x xxxxx??? ? ? ?? ? ?則 ,0??? ,21 20x?? ??取00 | |xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí)，22 00 202 | || 1 1 | .1xxxxx??? ? ? ? ??這就證明了所需的結(jié)論 . 0202 | | ,1xx