數(shù)學(xué)分析第四篇多元函數(shù)微分學(xué)-全文預(yù)覽
【正文】 O . C B 圖1 ■【例11】設(shè)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證：若，則有最小值.【證明】由題設(shè)，當(dāng)時。則。 ■【例7】設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上可微，且對，有證明：對任意成立：。又同理令考慮，即不存在。同理令且與k有關(guān)。在關(guān)于在上連續(xù)。令?！咎崾尽?是一次齊次函數(shù)，弄清楚齊次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的特征很重要。【證明】 ，. 由對稱性即得，.于是 . ■【例5】.【證明】 由得，于是有，同理可得，. . ■【例6】設(shè)為由方程組（其中為參數(shù)）所定義的函數(shù)，求當(dāng)時和.【證明】.當(dāng)時，解出得，因此 . ■【例7】 求函數(shù)在下最小值。，則有.即，但如果沿直線趨于零，有故，因此在點不可微。【提示】 是次齊次函數(shù)是指【解】 令。曲線在處的法平面方程式為：.2) 空間曲線由方程式組給出.當(dāng)中至少一個不為零時，曲線在點的切線方程為：，曲線在點的法平面方程為：。3) 對于條件極值的一般情形，求函數(shù)在約束條件（其中均具有一階連續(xù)偏函數(shù)，且雅可比（Jacobi）矩陣的秩為m)下的極值步驟如下： ①作拉格朗日函數(shù)②分別令得到相應(yīng)的方程組。3）極值的充分條件: 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點。若1）函數(shù)在以為內(nèi)點的維空間區(qū)域內(nèi)連續(xù)；2）偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在且連續(xù)；3）；4）；則在的某一鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一個定義在的鄰域上的n元連續(xù)函數(shù)使得:①②在內(nèi)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：而且 5. 由方程組確定的隱函數(shù)（隱函數(shù)組定理）若：1）與在以點為內(nèi)點的區(qū)域內(nèi)連續(xù)；2）（為初始條件）；3）在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；4）在點處不等于零。同理可定義關(guān)于連續(xù)。2) 重要定理及推論.1 若與（或）都存在，則它們 相等；2 若，和都存在，則三者相等；3 若與都存在但不相等，則不 存在。4）極限存在的充要條件是：對于中任一滿足條件的點列，它所對應(yīng)的函數(shù)列都收斂。當(dāng)、分別用表示時，上式也可寫作.2. 重要定理及推論.1）的充要條件：對于的任一子集，只要是的聚點就有。（注：其它多元函數(shù)與二元函數(shù)相似）。.1) 點列收斂定義：設(shè)為平面點列，為一固定點。2）閉集. 若平面點集的所有聚點都屬于，則稱為閉集。3) 界點（邊界點）. 若在點的任何鄰域內(nèi)既含有屬于得的點，又含有不屬于的點，則稱點是點集的界點。2) 外點. 若存在點的某鄰域，使得，則稱點是點集的外點。2. 幾種特殊的平面點集. 1) 開集. 若平面點集所屬的每一點都是的內(nèi)點，則稱為開集。5）區(qū)域. 開域、閉域或者開域連同某一部分界點所成的點集，統(tǒng)稱為區(qū)域。4. 二元函數(shù)定義
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