數(shù)學(xué)分析之反常積分-全文預(yù)覽
【正文】 ba a cf x x f x x f x x??? ? ?lim ( ) d lim ( ) d .ubavu c v cf x x f x x????????若 f 的瑕點(diǎn) , 定義 ( , )c a b?( ) d ( ) d , ( ) dc b ba c af x x f x x f x x? ? ?若 和 都 收 斂 則 稱.收 斂[ , ] [ , ]a u a b?在任何 上可積 . 例 1 討論無(wú)窮積分 1d .pxx??? 的 收 斂 性O(shè) xy111py x?1p?1p?1p?1p?1p?1p?11, 1 ,d1lim, 1.upupxpxp? ? ?? ?? ???? ? ? ???解 ? ?111d1 , 1 ,11,l n ,pupx uppxpu??? ??? ? ?? ???因 此 ,則無(wú)窮積分的牛頓 － 萊布尼茨公式可寫(xiě)作 若 f (x) 的原函數(shù)為 F (x), ( ) d ( ) ,aa f x x F x?? ????解 21e d e e ,pt pt pttt t Cp p? ? ?? ? ? ??例 2 討論無(wú)窮積分 ? ?0 e d 0 .ptt t p?? ? ?? 的 收 斂 性2001e d e ept pt pttttpp????? ? ???? ? ??????因此 ( ) ( ) l i m ( ) ( ) .uF F a F u F a? ??? ?? ? ? ?2211( 0 0 ) 0 .pp??? ? ? ? ?????例 3 討論瑕積分 ? ?10 d 0qx qx ?? 的收斂性 . 解 ? ?11 1 1 , 1d1ln , 1 ,qquuqxqxuq?? ????? ?? ????110 0d d 10 1 , l i m 。 1 反常積分概念 一、反常積分的背景 反常積分討論的是無(wú)窮區(qū)間上的積分和無(wú)界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣 . 二、兩類反常積分的定義 一、反常積分的背景 在討論定積分時(shí)有兩個(gè)最基本的條件：積分區(qū) 間 但以下例子告訴我們有時(shí)我們需要考慮無(wú)窮區(qū)間 例 1(第二宇宙速度問(wèn)題）在地球表面垂直發(fā)射火 的有窮性 。第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題 ,因此也成立 . 516d1xx????收 斂 .例 2 判別 516d1xx???? 的收斂性 . 22( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ???明 : 若 和 收 斂 , 則( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂解 651d xx???由 于 收 斂 , 因 此656511 .1 xx??顯然 設(shè) f (x), g(x) 是 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) . 證 [ , )a ??例 3 2222( ) ( ) 1 1d ( ) d ( ) d2 2 2a a af x g x x f x x g x x?? ?? ??? ??? ? ?( ) ( ) d .a f x g x x???收 斂 , 因 此 收 斂推論 1 設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和 g 在任何 [a,u] 上可積 , 且 ()l i m .()xfx cgx? ?? ?)i( 0 ( ) d ( ) daac f x x g x x? ? ? ?? ? ? ? ??若 ， 則 與 收 斂 性 相 同 。)ii( 1 , 0 , ( ) d .ap f x x? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) 發(fā) 散l i m ( ) ,px x f x ?? ? ? ?若 則限區(qū)間 [a, u] 上可積 . 推論 3設(shè) f 是定義在 上的非負(fù)函數(shù) ,在任何有 [ , )a ??1( ii ) ( ) ( 1 ) , ( ) d .p af x p f x xx???? ?若 則 發(fā) 散說(shuō)明 : 推論 3是推論 2的極限形式 . 例 4 討論 1ln dkpx xx??? 的收斂性 ( k 0 ). 解 (i) ,1 時(shí)?p12 lnlimp kpxxxx?? ??? 12lnl i m 0.pkxxx ?? ? ???1ln px xx???因 此 由 推 論 3 知 道 收 斂)ii( 1ln1 , l i m l i m l n .kpkpxxxp x x xx?? ?? ? ??? ? ? ? ??時(shí)???1ln px xx因 此 發(fā) 散若無(wú)窮積分 ( ) d , ( ) daaf x x f x x? ? ? ??? 收 斂 則 稱以下定理可用來(lái)判別一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂性 . 三、一般函數(shù)無(wú)窮積分的判別法 何 有限區(qū)間 [a, u]上可積 , ( ) d , a f x x???且 收 斂 則( ) da f x x 亦必收斂, 并且???( ) d ( ) d .aaf x x f x x? ? ? ????定理 (絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分必收斂 ) 若 f 在任 絕 對(duì) 收 斂 .210 , , ,G a u u G?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)21( ) d ,uu f x x ???因此 2211( ) d ( ) d .uuf x x f x x ?????再由柯西準(zhǔn)則的充分性 , ( ) da f x x???推 知 收 斂 .( ) d lim ( ) d ( ) d .ua a auf x x f x x f x x? ? ? ?? ? ???? ? ?又對(duì)任意 ( ) d ( ) d ,uuaaf x x f x x??? 于 是,ua?證 ( ) d ,a f x x??? 收 斂由柯西準(zhǔn)則的必要性 , 對(duì) 因 1si n d()x xx a x????因 此 絕 對(duì) 收 斂 .收斂的無(wú)窮積分 ( ) da f x x??? 不一定是絕對(duì)收斂的 . ( ) d | ( ) | d ,aaf x x f x x? ? ? ???若 收 斂 而 發(fā) 散 則 稱( ) da f x x??? 條 件 收 斂 .例 5 1si n d ( 0 )()x xax a x?? ??? 的收斂性 . 判別 解 sin 1 ,()xx a x x x???而3211 d xx??? 收 斂 ,由于 一般函數(shù)的無(wú)窮積分還可試用以下的狄利克雷 判 定理 (狄利克雷判別法） ( ) ( ) duaF u f x x? ?若0 ( ) ( ) d .a f x g x x???單 調(diào) 趨 于 ， 則 收 斂[ , ) ( ) [ , )a g x a x? ? ? ? ? ? ?在 上 有 界 ， 在 上 當(dāng) 時(shí)l i m ( ) 0 ,x gx? ?? ?[ , ) , ( ) d . 0 ,uau a f x x M ?? ? ? ? ? ??設(shè) 由 于證 , , ( ) .4G a x G g x M?? ? ?存 在 時(shí)故 別法和阿貝爾判別法判別其收斂性 . ,g因 為 單 調(diào) 函 數(shù) 由 積 分 第 二 中 值 定 理 對(duì) 任 意 的2211 12( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ,uuf x g x x g u f x x g u f x x? ???? ? ?2 2 .44 MMMM?? ?? ? ? ? ?22( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????11( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????2112( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x? ??? ??21( ) ( ) duu f x g x x?2 1 1 2, [ , ] ,u u G u u?? ? ? ?使得 于 是因此 , 由柯西準(zhǔn)則， ( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂 狄利克雷 Dirichlet,18051859德國(guó)數(shù)學(xué)家，解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在論文 “ 關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性 ” 中
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