【正文】 原函數(shù)為 F (x), ( ) d ( ) ,aa f x x F x?? ????解 21e d e e ,pt pt pttt t Cp p? ? ?? ? ? ??例 2 討論無窮積分 ? ?0 e d 0 .ptt t p?? ? ?? 的 收 斂 性2001e d e ept pt pttttpp????? ? ???? ? ??????因此 ( ) ( ) l i m ( ) ( ) .uF F a F u F a? ??? ?? ? ? ?2211( 0 0 ) 0 .pp??? ? ? ? ?????例 3 討論瑕積分 ? ?10 d 0qx qx ?? 的收斂性 . 解 ? ?11 1 1 , 1d1ln , 1 ,qquuqxqxuq?? ????? ?? ????110 0d d 10 1 , l i m 。 Dirichlet是 Gauss的學生和繼承人?？墒敲\像是要和他作對，他所期望的東西全落空，最后肺病奪去了他的生命，死時才 27歲！ 阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表現(xiàn)出了不起的思維能力。( ii ) 1 , 0 ( ) d .bap f x x?? ? ? ? ? ?當 時 ， 發(fā) 散~ s in ~ t a n ~ a r c s in ~ a r c t a nx x x x x利用可以判別一些非負函數(shù)瑕積分的收斂性 . ~ ln ( 1 ) ~ e 1 ( 0 ) ,xxx? ? ?例 1 2 313si n d.1 l nx xxx??判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性1,x ?解 瑕 點 為1 3 2 1 333si n 1 si n .l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 1 )1xxx x x x xx ? ? ? ? ? ??由于 2 1 3 3si n si n 1 0 ( 1 ) ,( 1 ) 3x xxx ? ? ??? 而1 3 1 3 4 31 1 1~,( 1 ) l n ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x?? ? ? ? ? ?2243 3 311d si n d.( 1 ) 1 l nxx xx xx? ???因 此 由 發(fā) 散 知 發(fā) 散例 2 10ln xx?判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性解 0 ln 0 ( ( 0 , 1 ] ) .x x x? ? ? ?是 瑕 點 , 由 于3 / 4 1 400lnl i m l i m l n 0,xxxx x xx????? ? ?1 100lnln3d xxx xx? ?因 此 由 推 論 知 收 即, 收 斂斂10( ) d1axax x????? ??的 收 斂 性 .11101( ) d d11aaxxa x xxx??? ???? ????( i ) ( ) . 1 0 , 1 。 及開幾次方的代數(shù)運算和方程的系數(shù)來表示五次方程 的根的一般解。 狄利克雷生活的時代，德國的數(shù)學正經(jīng)歷著以Gauss為前導的、由落后逐漸轉為興旺發(fā)達的時期。推論 2 設 f 是定義在 上的非負函數(shù) , 在任何 [ , )a ??[ , ]au有 限 區(qū) 間 上 可 積 .() 1,()fxgx ?)i( 1 , 0 , ( ) dap f x x? ?? ? ? ? ? ?當 時 收 斂 。( ii i ) , ( ) d ( ) daac g x x f x x? ? ? ?? ? ? ??若 則 由 發(fā) 散 可 得 發(fā) 散 .證 ()( i ) l i m 0, , ,()x fx c G a x Ggx? ?? ? ? ? ? ?由 故 存 在 使 有() ,( ) 2f x ccgx ??即 3( ) ( ) ( ) .22ccg x f x g x??( ) d , ( ) d2aa cf x x g x x? ? ? ???若 收 斂 則 可 得 收 斂 , 從 而( ) d ( ) d ,aag x x g x x? ? ? ??? 收 斂 . 反 之 , 若 收 斂 可 得3 ( ) d ( ) d .2c g x x f x x? ? ? ?收 斂 , 從 而 收 斂()( i i ) l i m 0, , ,()xfx G a x Ggx? ?? ? ? ? ?由 存 在 使 有( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x??? ? ? ? ?即 因 此 由 收 斂( ) d .a f x x???可 推 得 收 斂() 1,()fxgx ?()( i i i ) l i m , , ,()xfx G a x Ggx由 存在 使 有? ?? ? ?? ? ? ?( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x??? ? ? ? ?即 因 此 由 發(fā) 散( ) d .a f x x???可 推 得 發(fā) 散1( i ) ( ) ( 1 ) , ( ) dp af x p f x xx???? ?若 則 收 斂 。 1855年， Gauss逝世后，他作為 Gauss的繼承者被 哥廷 根大學聘為教授，接替 Gauss原任的職務，直到逝世。 阿貝爾解決了幾百年來的難題：不可能用 +、 、 、 247。I a a a先討論 當 即 時它是定積分? ? ?討論反常積分例 3 ()a?把 反 常 積 分 寫 成解 ( ) ( ) .I a J a??110l i m 1 ,1aaxxxx???????1 0 .ax當 時它是瑕積分, 瑕點為 由于??1 1 . 9 0 1 1 ,pa? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 3, 當 即, ( )Ia時 發(fā) 散 .( ii ) ( ) ,Ja再 討 論 它 是 無 窮 積 分 . 由 于0 , ( ) 1 1 , 0a I a p a a時 瑕 積 分 收 斂 。我們可以說他具有穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎無堅不摧的氣勢 ...。 柏林大學與哥廷根大學教授。1qq uuxxqqxx ??? ? ? ? ???故 當 時10d1 , .qxqx? ? ? ? ?當 時 發(fā) 散同樣 , 若 f (x) 的原函數(shù)為 F (x), 瑕積分的牛頓 萊 ( ) d ( ) ( ) ( )b baa f x x F x F b F a? ?? ? ??( ) l i m ( ) .uaF b F u????例 4 計算瑕積分 10 ln d .xx?解 10 ln dxx? 的瑕點為 0. 因此 , ? ?11 10 0ln d lim ln dx x x x x? ?? ??????? ? ? ?0li m 0 ln 1 1.? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???布尼茨公式寫作 例 5 計算廣義積分 .1 2? ???? ? xdx解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1l i m? ?0a r c t a nl i m aa x???? ? ?bb x 0a r c t a nlim ????aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nl i m????( ) .22?? ?? ? ? ? ?例 6 計算廣義積分 解 ).0(0 22??? axa dxa221l im ,xa ax??? ? ??ax ?? 為被積函數(shù)的無窮間斷點 .? ?a xa dx0 222200l im a dxax?? ??????0 0l im a r c s inaxa?? ??????????0l im a r c s in 0aa?????????????.2??例 7 計算廣義積分 解 .ln21? xx dx?21 ln xx dx 210l imlndxxx?? ? ??? ?210( l n )l imlndxx?? ? ??? ? ? ? 210l im l n ( l n )x ?? ? ???? ?