【導(dǎo)讀】無界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣.的有窮性;被積函數(shù)的有界性.速度v0至少要多大？于是火箭從地面上升到距地心為處需作功??力加速度為g,按萬有引力定理,在距地心。當(dāng)時,其極限mgR就是火箭無限遠離地。解桶內(nèi)水位高度為時,流出水的速度為hx?直至流完桶中的水,共需多少時間？則稱此極限J為函數(shù)f在上的無窮限反????定義1設(shè)函數(shù)f定義在[a,+?)上,且在任何有限。其中是(，內(nèi)任意一點。域內(nèi)無界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間[u,b]上有界且可積.lim()d,buuafxx若極限不存在???()dbafxx又稱為瑕積分.通常稱a為f的瑕點,若f的原函數(shù)為F,例3討論瑕積分??例4計算瑕積分10lnd.xx?

　　

【正文】 aag x x f x x??則 當(dāng) 收 斂 時 必 定 收 斂( ) d , ( ) d .bbaaf x x g x x?? 發(fā) 散 時 必 定 發(fā) 散[ , ] ( )f g u b a u b??若 非 負 函 數(shù) 和 在 任 何推論 1 ? ?? ? 則且上可積 ,lim, cxgxfax???( i) 0 ( ) d ( ) d 。bbaac f x x g x x? ? ? ? ??時 ， 與 收 斂 性 相 同( ii) 0 ( ) d ( ) d 。bbaac g x x f x x? ??時 ， 收 斂 可 推 得 收 斂? ? ? ??( iii ) ( ) d ( ) d .bbaac g x x f x x時 ， 發(fā) 散 可 推 得 發(fā) 散[ , ] ( , ]u b a b?在 任 何 上 可 積 . 則 有1( i ) ( ) , 0 1 , ( ) d()bp af x p f x xxa? ? ?? ?當(dāng) 時 收 斂 。1( i i ) ( ) , 1 , ( ) d .()bp af x p f x xxa?? ? ?當(dāng) 時 發(fā) 散推論 2 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負 函 數(shù) 定 義 在 上 為 瑕 點 且推論 3 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負 函 數(shù) 定 義 于 為 瑕 點 且 在 任[ , ] ( , ] li m ( ) ( ) ,pxau b a b x a f x ???? ? ?何 上 可 積 . 若 則( i) 0 1 , 0 ( ) dbap f x x?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時 ， 收 斂 。( ii ) 1 , 0 ( ) d .bap f x x?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時 ， 發(fā) 散~ s in ~ t a n ~ a r c s in ~ a r c t a nx x x x x利用可以判別一些非負函數(shù)瑕積分的收斂性 . ~ ln ( 1 ) ~ e 1 ( 0 ) ,xxx? ? ?例 1 2 313si n d.1 l nx xxx??判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性1,x ?解 瑕 點 為1 3 2 1 333si n 1 si n .l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 1 )1xxx x x x xx ? ? ? ? ? ??由于 2 1 3 3si n si n 1 0 ( 1 ) ,( 1 ) 3x xxx ? ? ??? 而1 3 1 3 4 31 1 1~,( 1 ) l n ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x?? ? ? ? ? ?2243 3 311d si n d.( 1 ) 1 l nxx xx xx? ???因 此 由 發(fā) 散 知 發(fā) 散例 2 10ln xx?判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性解 0 ln 0 ( ( 0 , 1 ] ) .x x x? ? ? ?是 瑕 點 , 由 于3 / 4 1 400lnl i m l i m l n 0,xxxx x xx????? ? ?1 100lnln3d xxx xx? ?因 此 由 推 論 知 收 即, 收 斂斂10( ) d1axax x????? ??的 收 斂 性 .11101( ) d d11aaxxa x xxx??? ???? ????( i ) ( ) . 1 0 , 1 。I a a a先討論 當(dāng) 即 時它是定積分? ? ?討論反常積分例 3 ()a?把 反 常 積 分 寫 成解 ( ) ( ) .I a J a??110l i m 1 ,1aaxxxx???????1 0 .ax當(dāng) 時它是瑕積分, 瑕點為 由于??1 1 . 9 0 1 1 ,pa? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 3, 當(dāng) 即, ( )Ia時 發(fā) 散 .( ii ) ( ) ,Ja再 討 論 它 是 無 窮 積 分 . 由 于0 , ( ) 1 1 , 0a I a p a a時 瑕 積 分 收 斂 。 當(dāng) 即? ? ? ? ?12l i m l i m 1 ,11aaxxxxxxx??? ?? ? ??? ? ???1 1 . 3 3 2 1 , 1p a a? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 , 當(dāng) 即a a ? 0 0 a 1 a ? 1 I (a) 發(fā)散 收斂 定積分 J (a) 收斂 收斂 發(fā)散 ? (a) 發(fā)散 收斂 發(fā)散 1 , ( ) , :Ja? ? 時 發(fā) 散 . 綜 上 所 述 總 結(jié) 如 下1 , ( ) 。 2 1 , 1J a p a a? ? ? ? ? ?且 時 收 斂 而 當(dāng) 即 且( ) 0 1 .aa? ??所 以 , 只 有 當(dāng) 時 才 是 收 斂 的例 4 101si n.x dxx?判 別 廣 義 積 分 的 收 斂 性解 也收斂．從而 dxxx? 101s i n11si n 1| | ,dxxx x x? ?０而 收 斂 ，101si n|| x dxx?收 斂 ，根據(jù)比較審斂原理 , 思考題 積分 的瑕點是哪幾點？ ? ?10 1ln dxx x思考題解答 積分 可能的瑕點是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx1lnlim1 ?? xxx? ,11lim1??? xx 1?? x 不是瑕點 , ? ?? 10 1ln dxx x的瑕點是 .0?x一、 填空題：1 、 廣義積分???1pxdx當(dāng) _______ 時收斂；當(dāng) ___ ___ 時發(fā)散；2 、 廣義積分?10qxdx當(dāng) _______ 時收斂；當(dāng) ___ ____ 時發(fā)散；3 、 廣義積分 ???2)( lnkxxdx在 ______ 時收斂；在 ____ ___ 時發(fā)散； 4 、廣義積分 ? ?? ?? ? dxxx 21 ____ ( 收斂 , 發(fā)散 ) ； 練 習(xí) 題 5 、 廣義積分 ???10 21 xxdx___ __ _ __ ；6 、 廣義積分 ???xdttf )( 的幾何意義是 ______ __ ___ __ _ ___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___ .二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計算廣義積分的值：1 、 ????0co s h td tept )1( ?p ； 2 、 ??????? 222xxdx ；3 、 ????0dxexxn（ 為自然數(shù)n ）； 4 、 ??202)1( xdx；5 、??211xx d x； 6 、 ????022)1(lndxxxx；7 、 ?10ln xdxn.三、 求當(dāng) 為何值時k ，廣義積分 )()(abaxdxbak???收斂？又 為何值時k ，這廣義積分發(fā)散？四、 已知???????????????xxxxxf2,120,210,0)( ，試用分段函數(shù)表示 ???xdttf )( .一、 1 、 1,1 ?? pp ； 2 、 1,1 ?? qq ； 3 、 1,1 ?? kk ；4 、發(fā)散； 5 、 1 ； 6 、過點 軸平行于 yx 的直線左邊 , 曲線 )( xfy ? 軸和 x 所圍圖形的面積 .二、 1 、12?pp； 2 、 ? ； 3 、 !n ； 4 、發(fā)散； 5 、322 ； 6 、 0 ； 7 、 !)1( nn? .三、當(dāng) 1?k 時收斂于kabk???1)(11； 當(dāng) 1?k 時發(fā)散 .四、???????????????????xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 4