【正文】 1( i i ) ( ) , 1 , ( ) d .()bp af x p f x xxa?? ? ?當 時 發(fā) 散推論 2 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負 函 數(shù) 定 義 在 上 為 瑕 點 且推論 3 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負 函 數(shù) 定 義 于 為 瑕 點 且 在 任[ , ] ( , ] li m ( ) ( ) ,pxau b a b x a f x ???? ? ?何 上 可 積 . 若 則( i) 0 1 , 0 ( ) dbap f x x?? ? ? ? ? ? ?當 時 ， 收 斂 。這個結(jié)果在 1799年被意大利數(shù)學家魯芬尼得到，但他的證明并不充分完整，現(xiàn)在數(shù)學上把以上的結(jié)果稱為阿貝爾－－魯芬尼定理。 阿 貝 爾 （ Abel, 18021829） 阿貝爾是 19世紀挪威出現(xiàn)的最偉大數(shù)學家，一生在貧窮的環(huán)境中掙扎，他在生之日希望能有一個固定的職業(yè)使他能安定生活和做研究，并且希望能和他喜愛的一個女郎結(jié)婚。狄利克雷以其出色的數(shù)學教學才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學物理等領(lǐng)域的杰出成果，成為高斯之后與雅可比 (Jacobi)齊名的德國數(shù)學界的一位核心人物。還論述了著名的第一邊值問題（現(xiàn)稱為 Dirichlet問題）。)ii( 1 , 0 , ( ) d .ap f x x? ?? ? ? ? ? ?當 時 發(fā) 散l i m ( ) ,px x f x ?? ? ? ?若 則限區(qū)間 [a, u] 上可積 . 推論 3設(shè) f 是定義在 上的非負函數(shù) ,在任何有 [ , )a ??1( ii ) ( ) ( 1 ) , ( ) d .p af x p f x xx???? ?若 則 發(fā) 散說明 : 推論 3是推論 2的極限形式 . 例 4 討論 1ln dkpx xx??? 的收斂性 ( k 0 ). 解 (i) ,1 時?p12 lnlimp kpxxxx?? ??? 12lnl i m 0.pkxxx ?? ? ???1ln px xx???因 此 由 推 論 3 知 道 收 斂)ii( 1ln1 , l i m l i m l n .kpkpxxxp x x xx?? ?? ? ??? ? ? ? ??時???1ln px xx因 此 發(fā) 散若無窮積分 ( ) d , ( ) daaf x x f x x? ? ? ??? 收 斂 則 稱以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性 . 三、一般函數(shù)無窮積分的判別法 何 有限區(qū)間 [a, u]上可積 , ( ) d , a f x x???且 收 斂 則( ) da f x x 亦必收斂, 并且???( ) d ( ) d .aaf x x f x x? ? ? ????定理 (絕對收斂的無窮積分必收斂 ) 若 f 在任 絕 對 收 斂 .210 , , ,G a u u G?? ? ? ? ? ?當 時21( ) d ,uu f x x ???因此 2211( ) d ( ) d .uuf x x f x x ?????再由柯西準則的充分性 , ( ) da f x x???推 知 收 斂 .( ) d lim ( ) d ( ) d .ua a auf x x f x x f x x? ? ? ?? ? ???? ? ?又對任意 ( ) d ( ) d ,uuaaf x x f x x??? 于 是,ua?證 ( ) d ,a f x x??? 收 斂由柯西準則的必要性 , 對 因 1si n d()x xx a x????因 此 絕 對 收 斂 .收斂的無窮積分 ( ) da f x x??? 不一定是絕對收斂的 . ( ) d | ( ) | d ,aaf x x f x x? ? ? ???若 收 斂 而 發(fā) 散 則 稱( ) da f x x??? 條 件 收 斂 .例 5 1si n d ( 0 )()x xax a x?? ??? 的收斂性 . 判別 解 sin 1 ,()xx a x x x???而3211 d xx??? 收 斂 ,由于 一般函數(shù)的無窮積分還可試用以下的狄利克雷 判 定理 (狄利克雷判別法） ( ) ( ) duaF u f x x? ?若0 ( ) ( ) d .a f x g x x???單 調(diào) 趨 于 ， 則 收 斂[ , ) ( ) [ , )a g x a x? ? ? ? ? ? ?在 上 有 界 ， 在 上 當 時l i m ( ) 0 ,x gx? ?? ?[ , ) , ( ) d . 0 ,uau a f x x M ?? ? ? ? ? ??設(shè) 由 于證 , , ( ) .4G a x G g x M?? ? ?存 在 時故 別法和阿貝爾判別法判別其收斂性 . ,g因 為 單 調(diào) 函 數(shù) 由 積 分 第 二 中 值 定 理 對 任 意 的2211 12( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ,uuf x g x x g u f x x g u f x x? ???? ? ?2 2 .44 MMMM?? ?? ? ? ? ?22( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????11( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????2112( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x? ??? ??21( ) ( ) duu f x g x x?2 1 1 2, [ , ] ,u u G u u?? ? ? ?使得 于 是因此 , 由柯西準則， ( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂 狄利克雷 Dirichlet,18051859德國數(shù)學家，解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。 1 反常積分概念 一、反常積分的背景 反常積分討論的是無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣 . 二、兩類反常積分的定義 一、反常積分的背景 在討論定積分時有兩個最基本的條件：積分區(qū) 間 但以下例子告訴我們有時我們需要考慮無窮區(qū)間 例 1(第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火 的有窮性 。證 22( ) ( )( ) ( ) ,2f x g xf x g x ?? 而由于 ( ii ) 0 , ( ) d ( ) daac g x x f x x? ? ? ?? ??若 則 由 收 斂 可 得 收 斂 。這一工作使得數(shù)學從研究函數(shù)的計算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)的概念、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。 他畢生敬仰 Gauss的講課是一生所聽過的最好、最難忘的課。與在柏林繁重的教學任務(wù)相比，他很欣賞在 哥廷 根有更多自由支配的時間從事研究。很少有幾個數(shù)學家能使他的名字同數(shù)學中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。bbaag x x f x x??則 當 收 斂 時 必 定 收 斂( ) d , ( ) d .bbaaf x x g x x?? 發(fā) 散 時 必 定 發(fā) 散[ , ] ( )f g u b a u b??若 非 負 函 數(shù) 和 在 任 何推論 1 ? ?? ? 則且上可積 ,lim, cxgxfax???( i) 0 ( ) d ( ) d 。 當 即? ? ? ? ?12l i m l i m 1 ,11aaxxxxxxx??? ?? ? ??? ? ???1 1 . 3 3 2 1 , 1p a a? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 , 當 即a a ? 0 0 a 1 a ? 1 I (a) 發(fā)散 收斂 定積分 J (a) 收斂 收斂 發(fā)散 ? (a) 發(fā)散 收斂 發(fā)散 1 , ( ) , :Ja? ? 時 發(fā) 散 . 綜 上 所 述 總 結(jié) 如 下1 , ( ) 。1si n d . ,px xx??? 發(fā) 散 總 之1s i n1dpxx??? ? ?? ?當 時 ， 絕 對 收 斂 .例 7 .)0,(s i n0的收斂性常數(shù)都是判別廣義積分???? ?abadxbxe ax解 .,s i n 0 收斂而 ? ?? ??? ? dxeebxe axaxax?.s i n0 收斂? ?? ?? dxbxe ax所給廣義積分收斂 . 例 8 .11 3 4的收斂性判別廣義積分 ? ?? ?x dx解 ,111103