【正文】 f x x f x x? ? ? ???? ? ?同 時 收 斂 或 同 時 發(fā) 散 ， 且性質 2 [ , ]f a u若 在 任 何 有 限 區(qū) 間 上 可 積 , 則1 1 2 2( ) d ( ) d .aak f x x k f x x? ? ? ?????h(x) 在任意 [a, u]上可積 , 且 ( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ??? 和( ) d .a h x x???都 收 斂 , 則 收 斂證 因為 ( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ??? 和收斂 ,由柯西準則的必要性 , 120 , , ,G a u u G?? ? ? ? ? ? ?例 1 ),[),()()( ????? axxgxhxf , f (x), g (x), 若 1221( ) d , ( ) d ,uuf x x g x x??????2 2 21 1 1( ) d ( ) d ( ) d ,u u uu u ug x x h x x g x x??? ? ? ? ?? ? ?再由柯西準則的充分性 , ( ) d .a h x x???證 得 收 斂即21( ) d .uu h x x ???( ) ( ) ( ) ,f x h x g x又 因 為 所 以??[ , ) , ( ) d .uau a f x x M? ? ? ? ??二、非 負函數無窮積分的收斂判別法 l i m ( ) .u Fu? ??條 件 是 存 在 12( ) 0 ,f x u u??由 于 當 時 ，2 1 21( ) d ( ) d ( ) d 0,u u ua a uf x x f x x f x x? ? ?? ? ?定理 (非負函數無窮積分的判別法 ) 設定義在 上的非負函數 f 在任何 [ , )a ?? [ , ] ,au 上 可 積 則( ) da f x x??? 收斂的充要條件是 : 0,M?? 使證 ( ) ( ) d ,uaF u f x x? ? ( ) da f x x???則 收 斂 的 充 要設 [ , ) , ( ) d .uau a f x x M? ? ? ? ??有( ) ( ) , [ , ) ,f x g x x G? ? ? ?非負函數 f , g 在任何有限區(qū)間 [a, u]上可積 , 且 定理 (比較判別法 ) 設定義在 上的兩個 [ , )a ??增 函數的收斂判別準則 , l i m ( )u Fu? ? ? 存 在 的 充 要 條從而 F (u) 是單調遞增的 ( [ , ) ) .ua? ??由單調遞 ( ) [ , )F u a ??件 是 在 上 有 界 ,0,M??即 使存在 滿足 ,Ga?證 ( ) da g x x???若 收 斂 ,0 , [ , ) ,M u a? ? ? ? ? ?則( ) d .ua g x x M??( ) d ( ) d .uuaaf x x g x x M????因 此由非負函數無窮積分的判別法 , ( ) da f x x??? 收 斂 .( ) d , ( ) daaf x x g x x? ? ? ???當 發(fā) 散 時 亦 發(fā) 散 .( ) d , ( ) daag x x f x x? ? ? ???則 當 收 斂 時 亦 收 斂 。推論 2 設 f 是定義在 上的非負函數 , 在任何 [ , )a ??[ , ]au有 限 區(qū) 間 上 可 積 .() 1,()fxgx ?)i( 1 , 0 , ( ) dap f x x? ?? ? ? ? ? ?當 時 收 斂 。他在分析學和數學物理方面也有很多重大貢獻。他修改了 Gauss關于位函數論的一個原理，引入了所謂 Dirichlet原理。 1831年被選為普魯士科學院院士 。 狄利克雷生活的時代，德國的數學正經歷著以Gauss為前導的、由落后逐漸轉為興旺發(fā)達的時期。由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，循循善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數學家，對德國在 19世紀后期成為國際上又一個數學中心產生了巨大影響。狄利克雷雖平安返回了 哥廷根 ，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，于 1859年春與世長辭。他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛戴。 及開幾次方的代數運算和方程的系數來表示五次方程 的根的一般解。1si n d . ,px xx??? 發(fā) 散 總 之1s i n1dpxx??? ? ?? ?當 時 ， 絕 對 收 斂 .例 7 .)0,(s i n0的收斂性常數都是判別廣義積分???? ?abadxbxe ax解 .,s i n 0 收斂而 ? ?? ??? ? dxeebxe axaxax?.s i n0 收斂? ?? ?? dxbxe ax所給廣義積分收斂 . 例 8 .11 3 4的收斂性判別廣義積分 ? ?? ?x dx解 ,111103/43 43 4 xxx ????? ,134 ??p3 41.1dxx????則 廣 義 積 分 收 斂例 9 .a rc t a ns i n1的收斂性判別廣義積分 dxx xx? ??解 1sin ,x dxx???由 于 收 斂a r c ta n [ 1 , )x ??又 在 單 調 有 界 ，判別法得，由 A b e l .a rc t a ns i n1收斂dxx xx? ??作業(yè) 習題 5 瑕積分的性質與收斂判別 ,與無窮積分的性質與收斂判別相類似 .因此本節(jié)內容大都是羅列出一些基本結論 ,并舉例加以應用 ,而不再進行重復論證 . 167。bbaac g x x f x x? ??時 ， 收 斂 可 推 得 收 斂? ? ? ??( iii ) ( ) d ( ) d .bbaac g x x f x x時 ， 發(fā) 散 可 推 得 發(fā) 散[ , ] ( , ]u b a b?在 任 何 上 可 積 . 則 有1( i ) ( ) , 0 1 , ( ) d()bp af x p f x xxa? ? ?? ?當 時 收 斂 。 當 即? ? ? ? ?12l i m l i m 1 ,11aaxxxxxxx??? ?? ? ??? ? ???1 1 . 3 3 2 1 , 1p a a? ? ? ?因 此 由 定 理 的 推 論 , 當 即a a ? 0 0 a 1 a ? 1 I (a) 發(fā)散 收斂 定積分 J (a) 收斂 收斂 發(fā)散 ? (a) 發(fā)散 收斂 發(fā)散 1 , ( ) , :Ja? ? 時 發(fā) 散 . 綜 上 所 述 總 結 如 下1 , ( ) 。( ii ) 1 , 0 ( ) d .bap f x x?? ? ? ? ? ?當 時 ， 發(fā) 散~ s in ~ t a n ~ a r c s in ~ a r c t a nx x x x x利用可以判別一些非負函數瑕積分的收斂性 . ~ ln ( 1 ) ~ e 1 ( 0 ) ,xxx? ? ?例 1 2 313si n d.1 l nx xxx??判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性1,x ?解 瑕 點 為1 3 2 1 333si n 1 si n .l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 1 )1xxx x x x xx ? ? ? ? ? ??由于 2 1 3 3si n si n 1 0 ( 1 ) ,( 1 ) 3x xxx ? ? ??? 而1 3 1 3 4 31 1 1~,( 1 ) l n ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x?? ? ? ? ? ?2243 3 311d si n d.( 1 ) 1 l nxx xx xx? ???因 此 由 發(fā) 散 知 發(fā) 散例 2 10ln xx?判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性解 0 ln 0 ( ( 0 , 1 ] ) .x x x? ? ? ?是 瑕 點 , 由 于3 / 4 1 400lnl i m l i m l n 0,xxxx x xx????? ? ?1 100lnln3d xxx xx? ?因 此 由 推 論 知 收 即, 收 斂斂10( ) d1axax x????? ??的 收 斂 性 .11101( ) d d11aaxxa x xxx?