【正文】 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 定理 （瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則） 21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?( ) d ( )ba f x x a?瑕 積 分 瑕 點(diǎn) 為 收 斂 的 充 要 條 件 是證 ( ) ( ) d , ( , ) , ( ) dbbuaF u f x x u a b f x x????設(shè) 則l i m ( ) .ua Fu??收 斂 的 充 要 條 件 是 存 在 由 函 數(shù) 收 斂 的1 2 1 2, ( , ) ( ) ( ) ,u u a a F u F u??? ? ? ? ?，120 , 0 , , ( , )u u a a? ? ?? ? ? ?任 給 存 在 當(dāng) 時(shí) ，柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于 0 , 0 ,??? ? ? ?21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?即性質(zhì) 1 1 2 1 2,f f x a k k?設(shè) 函 數(shù) 與 的 瑕 點(diǎn) 同 為1 1 2 2( ( ) ( ) ) d ,ba k f x k f x x?? 也 收 斂 且12, ( ) d ( ) d ,bbaaf x x f x x??為 任 意 常 數(shù) 若 和 都 收 斂 則1 1 2 2( ( ) ( ) ) dba k f x k f x x??1 1 2 2( ) d ( ) d .bbaak f x x k f x x????性質(zhì) 2 , ( , ) ,f x a c a b??設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 若 則( ) d ( ) d ,bcaaf x x f x x?? 與 同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 且( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 3 , ( , ]f x a f a b?設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 為 在 的 任 一, ( ) , ( ) d ,bau b u a f x x? ?閉 區(qū) 間 [] 上 可 積 則 收 斂 時(shí)( ) d , ( ) d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x?? ? ?也 收 斂 且定理 (非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法 ) ( , ] ( ) ,a b f x若 定 義 在 上 的 非 負(fù) 函 數(shù) 在 任 意 閉 區(qū) 間[ , ] ( ) , ( ) dbau b u a f x x? ?上 可 積 則 收 斂 的 充 要 條 件( , ] , ( ) d .buM u a b f x x M?? ?是 : 存 在 ， 對(duì) 任 意定理 (比較法則 ) ( , ] ,a b f g設(shè) 定 義 在 上 的 兩 個(gè) 非 負(fù) 函 數(shù) 與 瑕 點(diǎn) 同, [ , ] ( , ]x a u b a b??為 在 任 何 上 都 可 積 , 且 滿 足( ) ( ) , ( , ] .f x g x x a b??( ) d , ( ) d 。 1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到 哥廷根 大學(xué)任教。在論文 “ 關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性 ” 中得到給定函數(shù)f(x)的 Fourier級(jí)數(shù)收斂的第一充分條件 .1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)－ Dirichlet函數(shù)。 被積函數(shù)的有界性 . 上的“積分”或無(wú)界函數(shù)的“積分” . 箭 , 要使火箭克服地球引力無(wú)限遠(yuǎn)離地球 , 試問(wèn)初 速度 v0 至少要多大？ 解 設(shè)地球半徑為 R,火箭質(zhì)量為 m,地面上的 重 處火箭所受的引力為 222 ()m g R G M mF m gxR??于是火箭從地面上升到距地心為 處需作功 ? ?Rr ?.11d 222?????? ??? rRm g Rxxm g RrR? ?Rx ?力加速度為 g, 按萬(wàn)有引力定理 , 在距地心 r ? ? ?當(dāng) 時(shí) ,其極限 mgR 就是火箭無(wú)限遠(yuǎn)離地 ?? 的 積 分2222d l i m d .rRR rm gR m gRx x m gRxx??? ??????由機(jī)械能守恒定律可求初速度 至少應(yīng)使 0v201 .2 m v m g R?269 . 8 1 ( m / s ) , 6 . 3 7 1 1 0 ( m )gR用 代 入 , 得? ? ?0 2 11 .2 ( k m / s ).v gR??球需作的功 , 于是自然把這一極限寫(xiě)作上限為 例 2 圓柱形桶的內(nèi)壁高為 h,內(nèi)半徑為 R,桶底有 2 ( ) .v g h x??在時(shí)間 d t內(nèi) ,桶中液面降低的微小量為 d x,它們 ? ? ? ?22d d , 0 , .2Rt x x hr g h x???解 桶內(nèi)水位高度為 時(shí) ,流出水的速度為 hx?一半徑為 r 的小孔．試問(wèn)從盛滿水開(kāi)始打開(kāi)小孔 直至流完桶中的水 ,共需多少時(shí)間？ 22π d π d,R x v r t?因此 之間應(yīng)滿足 于是流完一桶水所需時(shí)間為 ? ?220d.2h Rtxr g h x???但由于被積函數(shù)是 上的無(wú)界函數(shù) ,所以它的 ? ?h,0? ?220l i m d2uuhRtxr g h x?????? ?222limuhRh h ug r??? ? ?確切含義為 22.hRgr??? ????二、兩類反常積分的定義 區(qū) 間 [a, u] 上可積 . 若存在極限 lim ( ) d ,uau f x x J? ? ? ??則稱此極限 J 為函數(shù) f 在 上的 無(wú)窮限 反 ? ???,a( ) d ,aJ f x x??? ?( ) d ,a f x x???并 稱 收 斂 ( ) d .a f x x???否 則 稱 發(fā) 散定義 1 設(shè)函數(shù) f 定義在 [ a, +?)上 , 且在任何有限 常積分 (簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分 ),記作 類似定義 ( ) d lim ( ) d ,bb uuf x x f x x?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,aaf x x f x x f x x).a ? ? ? ?其 中 是 ( ， 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn)域 內(nèi)無(wú) 界 , 但在任何內(nèi)閉區(qū)間 [u, b] 上有界且可積 . 如 果存 在極限 lim ( ) d ,buua f x x J?? ??定義 2 設(shè)函數(shù) f 定義在 (a, b] 上 , 在 a 的任意右鄰 則稱此極限為無(wú)界函數(shù) f 在 (a, b] 上的反常積分 , ( ) d ,baJ f x x? ?( ) dba f x x則 稱 發(fā) 散 .?( ) dba f x x并 稱 收 斂 .? lim ( ) d ,buua f x x若 極 限 不 存 在?? ?類似定義瑕點(diǎn)為 b 時(shí)的瑕積分 ( ) d lim ( ) d .buaa ubf x x f x x?????? ( ) dba f x x又 稱 為 瑕 積 分 .通常稱 a 為 f 的瑕點(diǎn) , 記作 其中 f 在 [a, b) 有定義 , 在 b 的任一左鄰域內(nèi)無(wú)界 , ( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?lim ( ) d lim ( ) d .ubavu c v cf x x f x x????????若 f 的瑕點(diǎn) , 定義 ( , )c a b?( ) d ( ) d , ( ) dc b ba c af x x f x x f x x? ? ?若 和 都 收 斂 則 稱.收 斂[ , ] [ , ]a u a b?在任何 上可積 . 例 1 討論無(wú)窮積分 1d .pxx??? 的 收 斂 性O(shè) xy111py x?1p?1p?1p?1p?1p?1p?11, 1 ,d1lim, 1.upupxpxp? ? ?? ?? ???? ? ? ???解 ? ?111d1 , 1 ,11,l n ,pupx uppxpu??? ??? ? ?? ???因 此 ,則無(wú)窮積分的牛頓 － 萊布尼茨公式可寫(xiě)作 若 f (x) 的