【正文】 )()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(l i m,)( )(l i m)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(l i m)()(l i m00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因?yàn)?所以 定理 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子 例 1 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計(jì)算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因?yàn)?所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價(jià)無窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 例 2 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計(jì)算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?有定義 , 若對(duì)于任給 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在 )( 0xU ?| ( ) | ,f x G?.)(l i m0??? xfxx)()。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點(diǎn) x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點(diǎn) x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運(yùn)算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 . 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以例 1 .a r c ta nl im x xx ???求0?例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時(shí)又當(dāng) ,0?x因此由迫斂性得 。 1 函數(shù)極限概念 一、 x 趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 二、 x 趨于 x0時(shí)的函數(shù)極限 三、單側(cè)極限 作為數(shù)列極限的推廣 ,函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系 ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理 . .s i n 時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察函數(shù) ??xx x一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) 定義在 )(xf ? ???,aA)(xfxyO極限 . ??f (x)當(dāng) x 趨于 時(shí)以 A為 也無限地接近 A,我們就稱 無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) ,函數(shù) f (x) 上 ,當(dāng) x 沿著 x 軸的正向 x 趨于 例如 函數(shù) ,ar c t an xy ? 當(dāng) 時(shí) , ??xyπ210 20 30 40 O 1 為極限 . 以 xa rcta n π2記為 或者 l i m ( )x f x A? ? ? ?).()( ???? xAxf,)( ??? AxfAxxf 時(shí)以趨于當(dāng) ??)(則稱函數(shù) .為極限定數(shù) ,若對(duì)于任意正數(shù) 存在正數(shù) 使得 ，0?? ，)( aM ?,時(shí)Mx ?當(dāng)定義 1 ? ? ., 上的一個(gè)函數(shù)為定義在設(shè) ??af A 為 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?AxyO a定義比較與注 axAxf nnx ?? ????? l i m)(l i ax nn ???lim Axfx ???? )(lim函數(shù)定義域自變量變化趨勢(shì)函數(shù)值變化趨勢(shì)nxy ? )( xfy ?N ）（ ??,a??n ???xax n ? Axf ?)(0 , 0()X x Xf x A??? ? ? ? ???， 時(shí) ，有0,nN n Nxa??? ? ? ???， 時(shí) ，有定義 注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù) . 所以 (由定義 1), 例 1 證明 .01lim ???? xx 任給 取 證 ,0?? ,1??M ,時(shí)當(dāng) Mx ?,101 ????xx.01lim ???? xx例 2 .2a r c t a nl i m ????? xx證明證 任給 ),2(0 ??? ?? ).2t a n( ?? ??M取這就是說 πl(wèi)im a r c t a n .2x x? ? ? ?時(shí)，當(dāng) Mx ? 嚴(yán)格增，因?yàn)?xar c t anπ π( ) ar c t an22f x x? ? ?π π( ) .22? ? ? ???,)( ??? Axf定義 2 ? ? ,)( 上定義在設(shè) bxf ??.是一個(gè)常數(shù)A,0?? ,0?M存在 ()x M b? ? ?當(dāng) 時(shí)若對(duì)于任意記為 Axxf 時(shí)以當(dāng) ???)( ,為極限則稱 Axfx ???? )(l i m 或 ).()( ???? xAxf證 對(duì)于任意正數(shù) ),10( ?? ?? ,ln ???M取lnx ?當(dāng) 時(shí)?則 例 3 求證 l i m e ??? ?.e0e ???? xx.0elim ???? xx為極限，時(shí)以當(dāng)則稱 Axxf ??)(記為 ,)( ??? Axf定義 3 A ,)()( 內(nèi)的某個(gè)鄰域定義在設(shè) ?? Uxf存在 當(dāng) ，0?M,0??.為一個(gè)常數(shù) 若對(duì)于任意xM? 時(shí)Axfx ??? )(lim 或 ).()( ??? xAxf例 4 求證 .01 1l i m 2 ???? xx22110,1 xx ?? ? ??所以 ,1??M 有時(shí)當(dāng) ,Mx ?證 對(duì)于任意正數(shù) ? , 可取 .01 1l i m 2 ???? xxxxy sin?例 5 .0si nlim ??? xxx證明證 x xx x si n0si n ??? x1? X1? ,??,0??? ,1??X取 時(shí)恒有則當(dāng) Xx ?,0si n ???x x .0si nlim ??? xxx故.)(,)(l i m:的圖形的水平漸近線是函數(shù)則直線如果定義 xfycycxfx?????xxy sin?幾何解釋 : ???X? X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線直線圖形完全落在以函數(shù)時(shí)或當(dāng)??????AyxfyXxXxA從定義 2 、 3 不難得到 : .)(lim)(lim Axfxf xx ?? ??????定理 ?定義在 則的一個(gè)鄰域內(nèi)，)(xfxx a r c t a nl i m??則由定理 ， .不存在Axfx ??? )(lim 的充要條件是： π πl(wèi)im a r c t a n , lim a r c t a n ,22xx xx? ? ? ? ? ?? ? ?例如 二、 x趨于 x0時(shí)的函數(shù)極限 ,39。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 在前面一節(jié)中引進(jìn)的六種類型的函數(shù)極限 ,它們都有類似于數(shù)列極限的一些性質(zhì) . 這里僅以 為代表 敘述并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可 . 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設(shè) 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l i m 0 Bxfxx ??由極限的定義，對(duì)于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時(shí)當(dāng) ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時(shí)當(dāng) ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質(zhì) 一 、 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m in { 021 時(shí)當(dāng)令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 定理 （局部有界性） 證 時(shí)，當(dāng)存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個(gè)空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說明定理中 “局部” 這兩個(gè)字是關(guān)鍵性的 . 比較； 定理 （局部保號(hào)性） 若 ,)0(0)(l i m0???? 或Axfxx則對(duì)任何正數(shù) )( ArAr ??? 或 使得存在 ,)(, 0xU ?.)0)((0)( ????? rxfrxf 或.|)(| ??? Axf.)( rAxf ??? ?由此證得 有對(duì)一切 ,)( 0xUx ??有時(shí)，當(dāng)存在 ?? ???? ||0,0 0xx證 不妨設(shè) . 對(duì)于任何 取 ,rA ???0?A ( 0 , ),rA?定理 （保不等式性） )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? 與設(shè)則內(nèi)有且在某鄰域都存在 ,)()()(, 0 xgxfxU ??).(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ?證 那么對(duì)于任意設(shè) ,)(l im,)(l im00BxgAxf xxxx ?? ??。 則稱 與 是 0xx ? 時(shí)的同階無窮小量 . )(xf )(xg3. 若兩個(gè)無窮小量在 )( 0xU ? 內(nèi)滿足 : ,)( )( Lxg xf ?則記 ).())(()( 0xxxgOxf ??當(dāng) 0?x 時(shí)， x 與 ?????? ? xx 1s in2 是同階無窮小量 . ,)( 0 時(shí)的有界量時(shí)為 xxxf ?我們記 .)()1()( 0xxOxf ??應(yīng)當(dāng)注意，若 )(,)( xgxf 為 0xx ? 時(shí)的同階無 窮小量，當(dāng)然有 .)())(()( 0xxxgOxf ??反之不一定成立 , 例如 .)0()(1si n ?? xxOxx但是這兩個(gè)無窮小量不是同階的 . 注意： 這里的 ))(()())(()( xgOxfxgoxf ?? 與)( 0xx ? 和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的 右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如 ))(( xgo表示 的所有高階無窮小量的集合． )(xg)( 0xx ?.)( )(~)( 0xxxgxf ?。)(lim,)(lim,)(lim ???????? ????????? xfxfxf xxx.)(l im,)(l im,)(l im ????????