【正文】 i n,02 ???? ?xxxc os1s i n1 ??or1s i nc os ?? x xx.1s i nl i m 0 ?? xxx由此可得.1t a nl i m0?? xxxπ0sin sinlim lim 1 .πxtxtxt???? ? ??解 ? ?π , s in s in π s in ,t x x t t? ? ? ? ? ?令 所以 例 1 求 πsinlim .πxxx? ?例 2 .a r c ta nlim0 xxx ?求.1c o sl i ms i nl i mt a nl i ma r c t a nl i m0000???????tttttx xtttx＝則令 ,t an,ar c t an txxt ??解 .c o s1lim 20 xxx??求例 3 解 2202s in2limxxx ?? .21?20c o s1li mxxx??2022s i n21lim???????????? xxxe11lim ??????? ????xx x.e11l i m ??????? ????xx x和證 我們只需證明： ? ? 。|)(|,0, 00 ?? ?????? Axfxxx nnnn二、單調(diào)有界定理 定理 設(shè) f 為定義在 )( 0xU ?? 上的單調(diào)有界函數(shù) , 則右極限 .)(lim0存在xfxx ??證 不妨設(shè) f 在 .)( 0 遞減xU ?? 因為 f (x) 有界 , 故 使),( 0* xUx ????（能夠?qū)懗鲫P(guān)于 ,)(lim,)(lim0xfxf xxx ???? ?的單調(diào)有界定理 .） )(lim xfx ???)(s u p)( 0xfxUx ???存在 , 設(shè)為 A .由確界定義 , 對于 ,0???.)( * AxfA ??? ?,0, 00* 時當(dāng)令 ?? ????? xxxx由 f ( ) 的遞減性 , .)()( * ?? ?????? AAxfxfA這就證明了 .)(l i m0Axfxx ???對于單調(diào)函數(shù) , 歸結(jié)原則的條件就要簡單得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx ??? 則上單調(diào)，在設(shè) ??存在的充要條件是存在一個數(shù)列 ,)(}{ 0,0 xxxUx nn ?? ? ??.)(l i m 存在使 nn xf??證 必要性可直接由歸結(jié)原則得出 , 下面證明充分 ,)(}{ 039。|)(|,0, 0110111 ???? ??????? Axfxxx取},2m i n{ 012 xx ?? ??。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當(dāng),11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時 , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因為 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時當(dāng) ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時當(dāng) ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因為 所以 ,0 N??? ?作業(yè) 習(xí)題 7 一、歸結(jié)原則 167。)(l im)(l im)]()([l im)1(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ???。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 在前面一節(jié)中引進的六種類型的函數(shù)極限 ,它們都有類似于數(shù)列極限的一些性質(zhì) . 這里僅以 為代表 敘述并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可 . 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設(shè) 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l i m 0 Bxfxx ??由極限的定義，對于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時當(dāng) ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時當(dāng) ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質(zhì) 一 、 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m in { 021 時當(dāng)令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 定理 （局部有界性） 證 時，當(dāng)存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說明定理中 “局部” 這兩個字是關(guān)鍵性的 . 比較； 定理 （局部保號性） 若 ,)0(0)(l i m0???? 或Axfxx則對任何正數(shù) )( ArAr ??? 或 使得存在 ,)(, 0xU ?.)0)((0)( ????? rxfrxf 或.|)(| ??? Axf.)( rAxf ??? ?由此證得 有對一切 ,)( 0xUx ??有時，當(dāng)存在 ?? ???? ||0,0 0xx證 不妨設(shè) . 對于任何 取 ,rA ???0?A ( 0 , ),rA?定理 （保不等式性） )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? 與設(shè)則內(nèi)有且在某鄰域都存在 ,)()()(, 0 xgxfxU ??).(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ?證 那么對于任意設(shè) ,)(l im,)(l im00BxgAxf xxxx ?? ??。)(l i m0Axfxx ?? 。)(lim Axfx ???? 。)(lim Anfn ???。. .)(l i m)(l i m00Axfxf xxxx ?? ?? ??）有定義，則（在設(shè) 0)( xUxf ?定理 180。,( 0 ?xU ?)||0( 0 ???? xx即.)( 0 為極限時以當(dāng) Axxxf ?記為 則稱 0l i m ( )xx f x A? ?.)()( 0xxAxf ??需要注意以下幾點： , 我們強調(diào)其存在性 . 換句話說 , 對于 固定 1. 對于 ?的 ,? 不同的方法會得出不同的 ? , 不存在哪一個更 好的問題 . 數(shù) 都可以充當(dāng)這個角色 . 3. 正數(shù) ? 是任意的 ,一旦給出 ,它就是確定的常數(shù) . , 那么比它 更小的正 是不惟一的 , 一旦求出了 ??.2平面上以 y =A為中心線 , 寬為 的窄帶 , ?2 可 以找到 ,0?? 使得曲線段 ),(),( 0 ?xUxxfy ???4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖 , 0,? ?任 給 對于 坐標(biāo) 落在窄帶內(nèi) . ??? Ay Ay???? AyO xy??0x 0x ??0x注： 在 處有無定義皆可 . 0x)(xf例 6 證明 .22 11 21l i m1?? ??? xxx時 , 使 ,?對于任意正數(shù) ,0??要找到 ???? |1|0 x當(dāng)分析 1 2 1 1 11 2 2 1 2 2 2xx x?? ? ? ?? ??()? 212 1.2 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 )x xxx??? ?? ? ?? ? ? ?因 21 1,2 2 ( 1 2 )x xx? ????只要 式就能成立 , 故取 即可 . 1 , ( )x ?? ? ? ???證 ,?? ? 00 xx ?? ? ?當(dāng) 時 ,?任給正數(shù) 取這就證明了 ,122 11 21 ?????? ?? xxx.22 11 21l i m1?? ??? xxx例 7 證明 .lim 2020xxxx ??,00202 ?????? xxxxxx可以先限制 因為 此時有 ,10 ?? xx0 0 0 0 022x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?故只要 所以 ,)21( 00202 xxxxx ????.2100 xxx ????要使 分析 01 2 ,x??這就證明了 .202 ??? xx.lim 2020xxxx ??證 ,21,1mi n0 ???????? x??取???? 00 xx當(dāng),0??? 有 ,時注 在例 例 7中 , 我們將所考慮的式子適當(dāng)放大 , 不是“最佳”的 , 但這不影響我們解題的有效性 . 其目的就是為了更簡潔地求出 ? , 或許所求出的 ? 證 首先，在 右圖所示的單位圓內(nèi) , π0,2x??當(dāng) 時顯然有 即 ,O A BO A DO A D SSS ?? ?? 扇形,t a n2121s i n21 xxx ??故 πs i n t an 0 .2x x x x??? ? ? ?????O C D B A y x x 例 8 求證： 0 0( 1 ) l i m si n si n 。?? ? 時當(dāng) )39。 Chapt 3 函數(shù)極限 教學(xué)目標(biāo)： “ ε δ ”定義及單側(cè)極限概念； 、極限存在的條件及兩個重要極限； ； . 167。 1 函數(shù)極限概念 一、 x 趨于 ?時的函數(shù)極限 二、 x 趨于 x0時的函數(shù)極限 三、單側(cè)極限 作為數(shù)列極限的推廣 ,函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系 ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理 . .s i n 時的變化趨勢當(dāng)觀察函數(shù) ??xx x一、 x趨于 ?時的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) 定義在 )(xf ? ???,aA)(xfxyO極限 . ??f (x)當(dāng) x 趨于 時以 A為 也無限地接近 A,我們就稱 無限遠離原點時 ,函數(shù) f (x) 上 ,當(dāng) x 沿著 x 軸的正向 x 趨于 例如 函數(shù) ,ar c t an xy ? 當(dāng) 時