數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)-文庫(kù)吧資料
2025-08-10 09:45本頁(yè)面
【正文】 ? ?? ? ?,m ??令 得 到10 e , 1 , 2 , .!nsnnn? ? ? ?101 0 , e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 ,ns? ? ?取 其 誤 差71010 e 1 0 .1 0 1 0 !s?? ? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 4 . : s u p ,S S a S設(shè) 是 有 界 數(shù) 集 證 明 若 則 存??{ } , li m .nn nx S x a????在 嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 數(shù) 列 使 得證 0 , ,a S x S?? ? ? ?因 是 的 上 界 , 故 對(duì) 使 得. , ,x a a S x a?? ? ? ?又 因 故 從 而 有.a x a?? ? ?111 , ,xS? ? ? ?現(xiàn) 取 則 使 得11 .a x a?? ? ?2 1 21min { , } , ,2 a x x S? ? ? ? ?再 取 則 使 得返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? ? ?12 ,a x a?1, nx ?一 般 地 按 上 述 步 驟 得 到 之 后 , 取11min { , } ,nn axn? ???,nxS?則 存 在 使 得? ? ? ,nna x a?2 2 1 1( ) .x a a a x x?? ? ? ? ? ?且 有11( ) .n n n nx a a a x x? ??? ? ? ? ? ?且 有{ } ,nxS ?于 是 得 到 它 是 嚴(yán) 格 單 調(diào) 的 , 滿 足返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? ? ? ,nna x a?li m .nn xa?? ?這 就 證 明 了? ? ? ?1 , 1 , 2 , .nnx a nn因 此 , ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、柯西收斂準(zhǔn)則 定理 數(shù)列 }{ na 收斂的充要條件是 : 0 , ,N n m N? ??對(duì)于任意正數(shù) ，存在 ，當(dāng) 時(shí) 有.nmaa ???柯西準(zhǔn)則的充要條件可用另一種形式表達(dá)為： 滿足上述條件的數(shù)列稱為 柯西列 . | | .n n paa ????0 , 0 ,N n N?? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意 +N,p ? 均有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 時(shí) , 有 | | ,2naA ???| | .2maA ???.22n m n ma a a A a A ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?l i m . 0,nn aA ??? ? ??設(shè) 由極限定義，證 此這里僅給出必要性的證明 . 由此推得 柯西 ( Cauchy,. 1789－ 1857 ,法國(guó) ) , ( , )n m N n m N??當(dāng)或0,N??由于該定理充分性的證明需要進(jìn)一步的知識(shí)，因 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 001 1 11 2 2nmxx N N N? ? ? ? ???NNN 212121 ???? ?0.??由柯西收斂準(zhǔn)則的否定陳述 , 可知 }{ nx 發(fā)散 . 發(fā)散 . 111 , 1 , 2 , .3nxn n? ? ? ? ?設(shè) 證明 {}nx例 5 證 取 ，210 ?? 000 , , 2 ,N n N m N? ? ? ? ?使得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1si n ( 1 ) si n22nm mnxx ??? ? ? ?12s in 1 s in 2 s in , 1 , 2 , .2 2 2n nnxn? ? ? ? ?設(shè)例 6 { } .nx 收斂求證 l og0 , ,l og 2N?? ?? ? ? ?證 ,n m N??當(dāng) 時(shí) 有11122mn?? ? ? 111 1 1( 1 )2 2 2m n m? ? ?? ? ? ?121( 1 )22m n m????12 m??? {} .nx? 收斂返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 1: , 1 , 2, ,nnna a r n? ? ? ?設(shè) 數(shù) 列 滿 足 條 件( 0 , 1 ) . { nra?其 中 求 證 } 收 斂 .1 1 2 1n m n n n n m ma a a a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?證 ,nm?若 則11 .11n m nn n m r r rr r rrr?? ?? ? ? ? ? ???l i m 0, 0, , ,1nnr N n Nr ??? ? ? ? ? ??由 于 于 是.1nrr ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,m n N??若 就 有.1nnmraar ?? ? ??{ na由 柯 西 準(zhǔn) 則 ,} 收 斂 .返回 后頁(yè) 前頁(yè) 論上特別有用 , 大家將會(huì)逐漸體會(huì)到它的重要性 . 2. 試給出 { an }不是柯西列的正面陳述 . 1. 對(duì)于數(shù)列是否收斂的各種判別法加以總結(jié) . 復(fù)習(xí)思考題 注 柯西收斂準(zhǔn)則的意義在于 : 可以根據(jù)數(shù)列通 項(xiàng)本身的特征來(lái)判斷該數(shù)列是否收斂 , 而不必依 賴于極限定義中的那個(gè)極限值 A. 這一特點(diǎn)在理 。 3 數(shù)列極限存在的條件 一、單調(diào)有界定理 下面就極限存在性問題 , 介紹兩個(gè)重要定理 . 二、柯西收斂準(zhǔn)則 理論中占有非常重要的地位 . 極限 ? 其中 , 判斷數(shù)列是否收斂 , 這在極限
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