數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)-在線瀏覽
2024-10-12 09:45本頁面
【正文】 時 (1), (2)同時成立 , },m ax{ 21 NNN ?令從而有 )2(.|| ??? ba n.2|||||| ??????? baaaba nn返回 后頁 前頁 二、有界性 即存在 0 , | | , 1 , 2 , .nM a M n? ? ?使 得證 l i m ,nn aa?? ?設(shè)對于正數(shù) 1 , ,N n N? ? ? ? 時 , 有| | 1 ,naa?? 1 1 .na a a? ? ? ?即若令 12m a x { | | , | | , , | | , | 1 | , | 1 | } ,nM a a a a a? ? ?則對一切 正整數(shù) n , 都有 | | .naM?定理 若數(shù)列 ，為有界數(shù)列則收斂 }{,}{ nn aa返回 后頁 前頁 件 . 注 數(shù)列 })1{( n? 是有界的 , 但卻不收斂 . 這就說 明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條 返回 后頁 前頁 三、保號性 定理 l i m ,nn aa?? ?設(shè)對于任意兩個實數(shù) b, c , 證 m in { , } 0 , , ,a b c a N n N? ? ? ? ? ? ?取 當(dāng) 時注 ),0(0 ?? aa 或若 我們可取 ( ) ,22aabc??或0 ( 0 ) .22nnaaaa? ? ? ?則 或這也是為什么稱該定理為保號性定理的原因 . .nb a c??故 ,nb a a a c??? ? ? ? ? ? , 則存在 N, 當(dāng) n N 時 , .cab n ??b a c??返回 后頁 前頁 例 1 證明 .0!1l i m ??? nn n證 對任意正數(shù) ? , ( 1 )l i m 0 ,!nn n????因 為 所以由 ? ?1 1,!nn? ? 1 .!n n ??即這就證明了 .0!1l i m ??? nn n0 , ,N n N? ? ?當(dāng) 時定理 , 返回 后頁 前頁 四、保不等式性 定理 { } , { }nnab設(shè) 均為收斂數(shù)列 , 如果存在正 00, , ,nnN n N a b??數(shù) 當(dāng) 時 有l(wèi)i m li m .nnnnab? ? ? ??則證 l i m , l i m .nnnna a b b? ? ? ???設(shè), 2abba ? ???若 取,22 babaaa n ????? ,22 bababb n ?????,nnab?故 導(dǎo) 致 矛 盾 .所以 .ab?0, , ,N N n N??由 保 號 性 定 理 存 在 當(dāng) 時返回 后頁 前頁 是嚴(yán)格不等式 . 注 若將定理 中的條件 改為 ,nnab?nn ba ?這就是說 , 即使條件是嚴(yán)格不等式 , 結(jié)論卻不一定 也只能得到 l i m l i m .nnnnab? ? ? ??例如 , 雖然 1 2 , n n? 但 1 2l i m l i m 0 .nn nn? ? ? ???返回 后頁 前頁 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 定理 設(shè)數(shù)列 }{},{ nn ba 都以 a 為極限 , }{ nc數(shù)列.l i m}{ acc nnn ???且收斂，證 對任意正數(shù) ??????n nnnaba ,limlim, 因為? 所以分 , 121 時使得當(dāng)別存在 NnNN ?。返回 后頁 前頁 一、惟一性 167。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪 七、一些例子 六、極限的四則運(yùn)算 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 四、保不等式性 三、保號性 二、有界性 些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運(yùn)用這些性質(zhì) . 返回返回 后頁 前頁 一、惟一性 定理 若 }{ na 收斂 , 則它只有一個極限 . 證 設(shè) .}{ 的一個極限是 naa 下面證明對于任何 定數(shù) .}{, 的極限不能是 nabab ?若 a， b 都是 { an } 的極限，則對于任何正數(shù) ? 0, 有時，當(dāng) 22 , NnN ??有時，當(dāng) 11 , NnN ??)1(。naa ?? ?2 .nn N b a ?? ? ?當(dāng) 時, ,}m ax{ 2,1,0 NNNN ?取.?? ??????? abcaaNn nnn時，當(dāng) 這就證得 滿足 : 存在 , 00 nnn bcaNnN ??? 有時當(dāng) 則 返回 后頁 前頁 例 2 求數(shù)列 }{ n n 的極限 . ? ? ,22 )1()1( 2 ????? nhnnhn nnn,1121l i m1l i m ?????????? ???? nnn所以由迫斂性，求得 .1l i m ???nn n.lim ac nn ???.12111 ?????? nhn nn故 又因 解 1 0 ,nnhn? ? ?設(shè)則有 返回 后頁 前頁 六、四則運(yùn)算法則 定理 為收斂數(shù)列，與若 }{}{ nn ba },{ nn ba ?則 (1) ? ?li m li m li m 。limlim nnnn bcbc ???? ?(3) ,0lim,0 ???? nnn bb若也收斂，且則
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