【正文】 im)(lim 21111 ????? ???? ???? xxfxxf xxxx2)(lim 1 ?? xfx例 3 討論極限 是否存在 ? xex10lim? 解 因為 而 所以極限 不存在 . 0lim 10 ??? xex ????? xex10limxex10li m? 三 、 極限的性質(zhì) Axfxxx?? ??)(l i m)( 0。? 一、數(shù)列極限 ? 二、函數(shù)極限 ? 三、極限運算法則 ? 四、兩個重要極限 ? 五、函數(shù)連續(xù)的定義 ? 六、函數(shù)的間斷點 167。 極限的概念 167。0?A 當(dāng) 時必有 0)( ?xf .0?A(2) 保號性 : 設(shè) 則當(dāng) 時必有 0)( ?xf當(dāng) 時 所以 ?? 0x ???x1????? xx e10lim當(dāng) 時 所以 ?? 0x ???x10lim10???xxe 法則 1. 代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和 .即 ? ? )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ??? 法則 2. 乘積的極限等于極限的乘積 .即 )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ? 法則 3. 商的極限等于極限的商 (當(dāng)分母的極限不等于零時 ) .即 )0)(( l i m)(lim )(lim)( )(lim ?? xgxg xfxg xf注意幾點 三、函數(shù)極限的運算法則 (3) 法則 1和法則 2均可推廣到有限上去 ,得 (1) 只有當(dāng)法則中所有的極限均存在時 ,法則才成立 . 法則 : 1?? ? )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??法則 : )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??2? 法則 4 函數(shù) n次冪的極限等于極限的 n次冪 .即 ? ? nn xfxf )(lim)(lim ???x (2) 符號下面沒有寫變化過程 ,意思是對 lim0xx?和 均成立 特別當(dāng) 時法則 變?yōu)? )()()()(21 xfxfxfxf n ???? ? 2? (4) 當(dāng)法則 2中 時有 即常數(shù)因子可以提到極限號的外邊 . cxg ?)( )(l i m)(l i m xfcxfc ???二 、 應(yīng)用舉例 解 原式 12422434lim2lim34lim2lim3lim2222222?????????????????xxxxxxxxx解 原式 113)23(lim)32(lim33 ??????xxxx例 1 求極限 )423(l i m 22 ??? xxx例 2 求極限 2332lim3 ??? xxx 解 顯然該函數(shù)是一初等函數(shù) , 且 0點在其定義域內(nèi) ,因此 注意 : 顯然例 例 2中的極限值就等于其函數(shù)在極值點處的函數(shù)值 . 一般當(dāng) 為初等函數(shù)且 點在其定義域內(nèi)時有 )(xf 0x)()(lim 00xfxfxx ??解 原式 4121l i m)2)(2()1)(2(l i m22 ??????????? xxxxxxxx例 3 求極限 xexxx c o s1s i nl i m 20??例 4 求極限 423l i m222 ???? xxxx 例 5 求極限 12lim21 ?? xxx10c o s 10s i n02??? e原式 解 因為 所以 是無窮小量 根據(jù)無窮大量與無窮小量的關(guān)系知 02 1lim20 ??? xxx xx212 ????? 12l i m 21 x xx 解 原式 4121lim)2)(4(4lim)2)(4()2)(2(lim444????? ???? ?????? xxxxxxxxxxx 解 因為當(dāng) 時 是無窮小量 而 是有界量 0?x 2xx1sin例 8 求極限 134423l i m22?????? xxxxx例 7 求極限 xxx1s inlim 20? 例 6 求極限 42lim4 ??? xxx01s i nlim 20 ?? xxx所以根據(jù)無窮小量的性質(zhì)知 解 原式 43)134(lim)423(lim134423lim2222?????????????????xxxxxxxxxxx 解 原式 010)121(lim)534(lim121534lim232232??????????????????xxxxxxxxxxxxx解 原式 ??????????32326531432l i mxxxxxxx例 8 求極限 xxxxxx ?????? 2322534lim例 9 求極限 6531432l i m223??????? xxxxxx 綜合例 例 例 9的結(jié)論 , 易見有 ??????????????????????????nmnmbanmbxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx00111011100lim??例 10 求極限 ? ? ? ?? ? 3521032027625243lim??????? xxxxxxx例 11 求極限 ))12()12(1751531311(lim???????????? nnn ?解 原式 ??????????????? ????????????????? ???????? ???????? ??????? 121121lim1211217151513131121limnnn xx ?2112l i m ??? ?? nnx解 原式 35207035304020232))(3(l i m ??????? ???xxxx 四 、 兩個重要極限 1. 1s i nl i m0 ?? x xx證明 :首先易見 xxttttttxxxttttxxs i nlims i nlims i nlim)s i n (lims i nlim00000 ????? ??????? ????????令所以只須證 即可 (如圖作單位圓 ,并 1s i nlim0??? xxxxo ABC作角 見右圖 )由圖中易見有 S△ OAB S扇形 OAB S△ OAC ? ?xsin21 x21 xtan2111?1?20??? xxy 于是有 xxx t a n2121s i n21 ??同除以 得 xsin :)0( s in ?xxxxc o s1s i n1 ??即 1s i nc o s ?? x xx因為 1lim1c o slim00 ?? ?? ?? xx x所以 1s i nlim