【正文】 如果 存在但不相等 ,則 點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn) 。 或當(dāng)自變量 時(shí) , 函數(shù) 的極限不存在 。而在證明或判斷或研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí) ,使用定義2. 證明 給自變量 在 點(diǎn)一個(gè)增量 x 0x x?則相應(yīng)的有 ? ? ? ? 202020 2 xxxxxxy ???? ??????于是有 ? ?? ? ? ? 000lim2lim2limlim 20002000 ????????? ???? xxxxxxy xxxx ????? ????故函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) 2xy ? 0x 例 2 研究函數(shù) 在 點(diǎn)的連續(xù)性 ???????1211)( 2xxxxxf 1?x例 1 證明函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) 2xy ? 0x 解 顯而易見該函數(shù)在 點(diǎn)及附近有定義 ,且 ,又 1?x2)1( ?f22lim)(lim,2)1(lim)(lim 11211 ????? ???? ???? xxfxxf xxxx可見 存在 ,且 2)(l i m1 ?? xfx )1(2)(l i m 1 fxfx ???因此該函數(shù)在 點(diǎn)處連續(xù) 1?x 注意： 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù) 定義 如果函數(shù) 在區(qū)間 上的每一個(gè)點(diǎn) 處均連續(xù)的話 ,則稱該函數(shù)在開區(qū)間 上連續(xù) 。若 時(shí) ,則 稱函數(shù) 在 點(diǎn)處右連續(xù) 。 )(xfy ?0x(3)其極限值等于 點(diǎn)的函數(shù)值 ,即 0x )()(l i m 00xfxfxx ??(2)函數(shù) 的極限存在 ,即 存在 。② 變量 從 點(diǎn)變化到 + 。 ?② 分子上的 和 后面可以跟一個(gè)函數(shù) , 但分母也必須是 ,即極限形式為 sin tan )(x?)(x?)()(s inlimxx??)()(t a nli mxx??或?③ 在自變量的變化過程中須是無窮小量 , 即 )(x?0)( ?x? 例 2 求極限 xkxxs inlim0?該極限為 1 例 3 求極限 xxx1s inlim??111s i nl i m ????xxx解 原式 類似可求得 kxkxx ??t a nlim0可當(dāng)公式記注使用 例 4 求極限 ?????? ?? xxxx3s i n5s i nlim0解 原式 2353s i nlim5s i nlim3s i n5s i nlim000 ??????????? ????? xxxxxxxxxxxkkx kxkkx kxk xx ????? ?? s i nlims i nlim 00解 原式 2. exxx ??????? ???11l i m 或 ? ? ex xx ???10 1l i m例 8 求極限 xx xk ?????? ??? 1l i m解 原式 kkkxxkkxxexkxk ??????????????? ???????????????? ??????1lim1lim使用第二個(gè)重要極限應(yīng)滿足以下三個(gè)條件 )(x? )(1x?② 冪指數(shù)為 的倒數(shù) , 即 )(x?③ 在自變量的變化過程中為無窮小量 可當(dāng)公式使用 例 9 求極限 xx x ?????? ???31lim① 冪底數(shù)為 的形式 , 為任一函數(shù) 。 極限的概念 一 、 數(shù)列的極限 就稱為一個(gè)數(shù)列 , 記作 , 其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng) , 第一項(xiàng)稱為首項(xiàng) , 第 項(xiàng)稱為通項(xiàng)(或一般項(xiàng) ) 定義 : 無窮多個(gè)按照某種規(guī)律排列起來的一列數(shù) n? ?nx?? , 321 nxxxx?? ,1,54,43,32,21 ?n n如 :(1) (2) (3) (4) ?? ,1,41,31,21,1 n? ? ?? ,1,1,1,1,1 1???? n?? ,2,8,6,4,2 n 關(guān)于數(shù)列概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 例如 數(shù)列 實(shí)際上就是 函數(shù) 的函數(shù)值 ?? ,1,41,31,21,1 n?,4,3,2,11 ?? nny n(2)數(shù)列一般有三種表示方式 ① 一般形式 . 如 ② 函數(shù)形式 . 如 數(shù)列 ③ 簡(jiǎn)化形式 . 如 數(shù)列 ?? ,1,54,43,32,21 ?n nNnn nnf ??? ,1)(??????? 1nn (1)數(shù)列實(shí)際上是定義在自然數(shù)集合上的函數(shù) ,將其函數(shù)值按自然數(shù)依次增大的順序排列起來所得到的 .因此數(shù)列也常常記作 或 )(nfyn ? Nn? ? ?)(nf 讓我們一起先觀看一段演示 3S 4S 5S6S 7S 8S 圓S隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的不斷增加 ,其圓內(nèi)接正多邊形的面積愈來愈趨向于圓的面積 ,即數(shù)列 以圓面積 為極限 ??nSSSSSSS , 876543 圓S 先看數(shù)列 ?? ,1,41,31,21,1 n變化趨勢(shì)演示 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的變化 為了進(jìn)一步了解數(shù)列的極限 ,下面我們?cè)儆^察幾個(gè)數(shù)列隨著 的不斷增大 , 它能否趨向于一個(gè)常數(shù) . n1)(nf ?? ,1,41,31,21,1 n 數(shù)列的極限就是數(shù)列的變化趨勢(shì) , 為此 , 先觀察幾個(gè)數(shù)列隨著 的不斷增大 , 它能否趨向于一個(gè)常數(shù) . 先看數(shù)列 變化趨勢(shì)演示 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的變化 n1)(nf2131 415161 71 正在演示 ?? ,1,41,31,21,1 n n 1 2 3 4 5 6 7 8 1 從以上演示可見 : 小紅球隨著 的不斷增大 , 越來越靠近橫軸 , 因此數(shù)列 趨向于零 . n??????n1演 示 結(jié) 束 )(nf211314151 6171 1 1 2 3 4 5 6 7 8 n21再觀察數(shù)列 的變化趨勢(shì) ?? ,1,54,43,32,21 ?n n注意小球的變化 32435465 76 87 98)(nf 1 1 2 3 4 5 6 7 8 n21再觀察數(shù)列 的變化趨勢(shì) ?? ,1,54,43,32,21 ?n n 正在演示