【正文】 或其極限值不等于 點(diǎn)的函數(shù)值 ,即 ,則稱函數(shù) 在 點(diǎn)處不連續(xù)或間斷 ,此時(shí) 點(diǎn)稱為函數(shù) 的間斷點(diǎn) . )(xfy ?)(xfy ?0x0x0xx ? )(xf0x )()(l i m 00xfxfxx ??0x)(xf 注意 : 如果 則 點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn) 。 )()(lim 00xfxfxx ??? )(xfy ? 0x)()(lim 00xfxfxx ??? )(xfy ? 0x 定理 函數(shù) 在 點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是 在 點(diǎn)既是左連續(xù)的 ,同時(shí)也是右連續(xù)的 . )(xf)(xf 0x0x 注意 一般在證明一個(gè)式子所給出的函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí) ,使用定義 1。 ③變量 在 點(diǎn)取得改變量 . 01 xxx ??? xxx ??? 01xxx0x 0x0x0x1xx?x? 對于函數(shù) 來說 , 如果其自變量 在 點(diǎn) 取得改變量 ,則因變量 就會(huì)有相應(yīng)的改變 , 稱其為函數(shù) 的改變量 , 記作 即 )( xfy ? x 0xx? yy)()(00 xfxxf ???y? )()( 00 xfxxfy ?????例如 函數(shù) 的改變量為 2)( xxf ?? ? ? ? 202020 2 xxxxxxy ????????? 注 1: 因?yàn)? 所以 )()(00 xfxxfy ?????0lim 0 ???? yx ? ? ? 0)()(lim 000 ???? xfxxfx ??? )()(l i m000 xfxxfx ??? ?? ? )()(l i m 00xfxfxx ?? 定義 1 設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義 , 當(dāng)自變量 在 點(diǎn)取得改變量 時(shí) , 則有函數(shù) 的改變量 , 如果當(dāng)自變量的改變量 趨于零時(shí) , 必然有函數(shù)改變量 也趨于零 , 即有 ,則稱函數(shù) 在 點(diǎn)處連續(xù) . )()( 00 xfxxfy ?????x? y?)(xfy ? 0x0xxx?0lim 0 ???? yx )( xfy ? 0xy可見有 注 2 定義 2實(shí)際包含有三個(gè)條件 : (1)函數(shù) 在 點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義 。0?A 當(dāng) 時(shí)必有 0)( ?xf .0?A(2) 保號性 : 設(shè) 則當(dāng) 時(shí)必有 0)( ?xf當(dāng) 時(shí) 所以 ?? 0x ???x1????? xx e10lim當(dāng) 時(shí) 所以 ?? 0x ???x10lim10???xxe 法則 1. 代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和 .即 ? ? )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ??? 法則 2. 乘積的極限等于極限的乘積 .即 )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ? 法則 3. 商的極限等于極限的商 (當(dāng)分母的極限不等于零時(shí) ) .即 )0)(( l i m)(lim )(lim)( )(lim ?? xgxg xfxg xf注意幾點(diǎn) 三、函數(shù)極限的運(yùn)算法則 (3) 法則 1和法則 2均可推廣到有限上去 ,得 (1) 只有當(dāng)法則中所有的極限均存在時(shí) ,法則才成立 . 法則 : 1?? ? )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??法則 : )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??2? 法則 4 函數(shù) n次冪的極限等于極限的 n次冪 .即 ? ? nn xfxf )(lim)(lim ???x (2) 符號下面沒有寫變化過程 ,意思是對 lim0xx?和 均成立 特別當(dāng) 時(shí)法則 變?yōu)? )()()()(21 xfxfxfxf n ???? ? 2? (4) 當(dāng)法則 2中 時(shí)有 即常數(shù)因子可以提到極限號的外邊 . cxg ?)( )(l i m)(l i m xfcxfc ???二 、 應(yīng)用舉例 解 原式 12422434lim2lim34lim2lim3lim2222222?????????????????xxxxxxxxx解 原式 113)23(lim)32(lim33 ??????xxxx例 1 求極限 )423(l i m 22 ??? xxx例 2 求極限 2332lim3 ??? xxx 解 顯然該函數(shù)是一初等函數(shù) , 且 0點(diǎn)在其定義域內(nèi) ,因此 注意 : 顯然例 例 2中的極限值就等于其函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值 . 一般當(dāng) 為初等函數(shù)且 點(diǎn)在其定義域內(nèi)時(shí)有 )(xf 0x)()(lim 00xfxfxx ??解 原式 4121l i m)2)(2()1)(2(l i m22 ??????????? xxxxxxxx例 3 求極限 xexxx c o s1s i nl i m 20??例 4 求極限 423l i m222 ???? xxxx 例 5 求極限 12lim21 ?? xxx10c o s 10s i n02??? e原式 解 因?yàn)? 所以 是無窮小量 根據(jù)無窮大量與無窮小量的關(guān)系知 02 1lim20 ??? xxx xx212 ????? 12l i m 21 x xx 解 原式 4121lim)2)(4(4lim)2)(4()2)(2(lim444????? ???? ?????? xxxxxxxxxxx 解 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 是無窮小量 而 是有界量 0?x 2xx1sin例 8 求極限 134423l i m22?????? xxxxx例 7 求極限 xxx1s inlim 20? 例 6 求極限 42lim4 ??? xxx01s i nlim 20 ?? xxx所以根據(jù)無窮小量的性質(zhì)知 解 原式 43)134(lim)423(lim134423lim2222?????????????????xxxxxxxxxxx 解 原式 010)121(lim)534(lim121534lim232232??????????????????xxxxxxxxxxxxx解 原式 ??????????32326531432l i mxxxxxxx例 8 求極限 xxxxxx ?????? 2322534lim例 9 求極限 6531432l i m223??????? xxxxxx 綜合例 例 例 9的結(jié)論 , 易見有 ??????????????????????????nmnmbanmbxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx0011101