數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念-wenkub.com
2024-08-27 09:06 本頁(yè)面
【正文】 nnaa ?? ? ?( 2 ) 0 ,a ? 時(shí) 有| | | || | .nnnna a a aaaa a a a???? ? ? ??li m .nn aa?? ?故 得 證對(duì)于任意 0 , , , | | .nN n N a a??? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)于 是可得 : 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 5 0 , lim 0 , lim 1 .nn n nnna a a a? ? ? ?? ? ? ?求 證設(shè)證 l i m 0 ,nn aa?? ??因 為根據(jù)極限的保號(hào)性 , 存在 N, 當(dāng) nN 時(shí) , 有 3 ,22na aa?? 即3 .22n nnnaaa??又因?yàn)? 3lim lim 1 ,22n nnnaa? ? ? ???所以由極限的迫 lim 1 .n nn a?? ?斂性 , 證得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 6 li m ( 1 ) .1nnna aa?? ???求 極 限解 ( 1 ) | | 1 ,a ? lim 0 ,nn a?? ?因 為所以由極限四則 運(yùn)算法則 , 得 limlim 0 .1 1 limnnnnnnnaaaa??????????( 2 ) 1 ,a ? 11l i m l i m .221nnnnaa? ? ? ????( 3 ) | | 1 ,a ? lim ( 1 ) 0 ,nn a?? ?因故得 1l i m l i m1 1 1nnnnnaaa? ? ? ????11.1 li m ( 1 )nna?????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 12, , , ma a a設(shè) 為 m 個(gè)正數(shù) , 證明 1 2 1 2li m m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a?? ? ? ? ?12 ,n nn n nma a a a m a? ? ? ? ?證 12m a x { , , , } .ma a a a?設(shè) 由 lim lim ,nnnm a a a? ? ? ???以及極限的迫斂性 , 可得 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a a?? ? ? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定義 1 +{ } , { } N ,nkan設(shè) 為 數(shù) 列 為 的 無(wú) 限 子 集 且12 ,kn n n? ? ? ?則 數(shù) 列12, , , ,kn n na a a{ } , { } .knnaa稱 為 的 子 列 簡(jiǎn) 記 為注 , { } { } { } ,kn n na a a由 定 義 的 子 列 的 各 項(xiàng) 均 選 自{ } { }knnaa且 保 持 這 些 項(xiàng) 在 中 的 先 后 次 序 . 中 的 第{ } , .n k kk a n n k?項(xiàng) 是 中 的 第 項(xiàng) 故 總 有返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 { } , { }nna a a若 數(shù) 列 收 斂 到 則 的 任 意 子 列{ } .knaa也 收 斂 到證 ?? ? ? ? ? ? ? ?li m . 0 , , , .n a a N n N a a設(shè) 則 當(dāng)??{ } { } . ,kn n ka a n k?設(shè) 是 的 任 意 一 個(gè) 子 列 由 于 因 此, , .kknk N n k N a a ?? ? ? ? ?時(shí) 亦 有 這 就 證 明 了li m .knk aa?? ?注 2 . 8由 定 理 可 知 , 若 一 個(gè) 數(shù) 列 的 兩 個(gè) 子 列 收 斂于 不 同 的 值 , 則 此 數(shù) 列 必 發(fā) 散 .返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 8 lim nn aa?? ?求 證 的 充 要 條 件 是.limlim 212 aaa nnnn ?? ?????證 (必要性 ) l i m 0 , , ,nn a a N n N??? ? ? ? ? ?設(shè) ， 則 時(shí).|| ??? aa n所以因?yàn)?,12,2 NnNn ???，??? || 12 aa n .|| 2 ??? aa n2 1 2( ) l i m l i m , 0 , ,kkkk a a a N??? ? ? ?? ? ? ? ?充 分 性 設(shè) 則kN?當(dāng) 時(shí) ，返回 后頁(yè) 前頁(yè) 12 k | a a | ??? ，2k| a | .??? 2 ,N K n N??令 當(dāng) 時(shí) , 則 有| | ,naa ???lim .nn aa?? ?所 以返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 9 1( 1 ) ( 1 ) . { } .nnnaa n??若 = 證 明 數(shù) 列 發(fā) 散解 顯 然21lim lim ( 1 ) 1 .2kkka k? ? ? ?? ? ?因此 , { } .na數(shù) 列 發(fā) 散211lim lim ( 1 ) 1 。|| ??? aa n返回 后頁(yè) 前頁(yè) .ba ?是任意的，所以因?yàn)??當(dāng) n N 時(shí) (1), (2)同時(shí)成立 , },m a x { 21 NNN ?令從而有 )2(.|| ??? ba n.2|||||| ??????? baaaba nn返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、有界性 即存在 0 , | | , 1 , 2 , .nM a M n? ? ?使 得
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