數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念(存儲版)
【正文】 隨 著 ? 的取值 不同 , N 當然也會不同 . 但這并不意味著 N 是由 再有 , 我們還可以限定 ? 小于某一個正數(shù) ( 比如 ? 1 ). 事實上 , 對 0 ? 1 若能驗證 { an } 滿足 返回 后頁 前頁 ,|| ??? aa n則當 n N1 = 2N 時 , 對于同樣的 ? , 更應(yīng)有 ? 惟一確定 . 例如 , 當 n N 時 , 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . .|| ??? aa n也就是說 , 在這里只是強調(diào) N 的存在性 , 而不追 返回 后頁 前頁 3. 極限的幾何意義 示當 n N 時 , .lim,)。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪 七、一些例子 六、極限的四則運算 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 四、保不等式性 三、保號性 二、有界性 些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習怎樣運用這些性質(zhì) . 返回返回 后頁 前頁 一、惟一性 定理 若 }{ na 收斂 , 則它只有一個極限 . 證 設(shè) .}{ 的一個極限是 naa 下面證明對于任何 定數(shù) .}{, 的極限不能是 nabab ?若 a， b 都是 { an } 的極限，則對于任何正數(shù) ? 0, 有時，當 22 , NnN ??有時，當 11 , NnN ??)1(。21kkka k?? ? ? ?? ? ? ? ??返回 后頁 前頁 ？ 5的證法 ,證明： {} na若 為 正 有 界 數(shù) 列 ， 則12li m s u p { } .n n n nnnn a a a a?? ? ? ? ?復(fù)習思考題 。( ?aU項 . 注 { an }無極限（即發(fā)散）的等價定義為 : { an } 返回 后頁 前頁 2定 義 l i m 0 , { } .nnn aa?? ?若 則 為 無 窮 小 數(shù) 列稱? ?21! .1 nnn qqnn例 和 是 無 窮 小 數(shù) 列 當 時 ,如 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?{}2 . 1 }{nna a a a數(shù) 列 收 斂 于 的 充 要 條 件 是 :定 理 ?以下定理顯然成立 ,請讀者自證 . 是 無 窮 小 數(shù) 列 .是 無 窮 小 數(shù) 列 .返回 后頁 前頁 ,大 數(shù) 列 記 作li m .nn a?? ??,窮 大 數(shù) 列 負 無 窮 大 數(shù) 列或 分 別 記 作l i m l i m .nnnnaa? ? ? ?? ? ? ? ? ?或3定 義 { } 0 ,naG設(shè) 是 一 數(shù) 列 , 若 對 任 意 總 存 在 正?, , , { }nnN n N a G a整 數(shù) 使 無則 稱 窮得 任 意 是??, , { }n n n na G a G a G a若 改 為 或 則 稱 正 無是? ? ? ?返回 后頁 前頁 六、一些例子 為了更好地理解 定義 , 再舉一些例題 . ”“ N??例 5 證明 發(fā)散 . })1({ n?又因 a 是任意的 , 所以 發(fā)散 . a 為極限 . }{ na證 對于任意實數(shù) a, 取 ,210 ?? :})1({}{ 滿足nna ??之外有無限多 )21,21(,)0(0 ???? aaaa 在時當所以由定義 139。返回 后頁 前頁 數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ) 167。 任給 , 若在 之外至多只有 0?? )。nnaa ?? ? ?( 2 ) 0 ,a ? 時 有| | | || | .nnnna a a aaaa a a a???? ? ? ??li m .nn aa?? ?故 得 證對于任意 0 , , , | | .nN n N a a??? ? ? ? ?當 時于 是可得 : 返回 后頁 前頁 例 5 0 , lim 0 , lim 1 .nn n nnna a a a? ? ? ?? ? ? ?求 證設(shè)證 l i m 0 ,nn aa?? ??因 為根據(jù)極限的保號性 , 存在 N, 當 nN 時 , 有 3 ,22na aa?? 即3 .22n nnnaaa??又因為 3lim lim 1 ,22n nnnaa? ? ? ???所以由極限的迫 lim 1 .n nn a?? ?斂性 , 證得 返回 后頁 前頁 例 6 li m ( 1 ) .1nnna aa?? ???求 極 限解 ( 1 ) | | 1 ,a ? lim 0 ,nn a?? ?因 為所以由極限四則 運算法則 , 得 limlim 0 .1 1 limnnnnnnnaaaa??????????( 2 ) 1 ,a ? 11l i m l i m .221nnnnaa? ? ? ????( 3 ) | | 1 ,a ? lim ( 1 ) 0 ,nn a?? ?因故得 1l i m l i m1 1 1nnnnnaaa? ? ? ????11.1 li m ( 1 )nna?????返回 后頁 前頁 例 7
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