數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限性質(zhì)(存儲版)
【正文】 返回 后頁 前頁 密集的等幅振蕩 , 當(dāng)然不會趨于一個固定的值 . 為 了讓讀者更好地掌握其他五類極限的歸結(jié)原 則 ,我 們寫出 時的歸結(jié)原則如下： ?? 0xx1 1 1 1 xyxy1sin? 的圖象在 x = 0 附近作無比 從幾何上看， 返回 后頁 前頁 義 , 則 定理 0)( xxf 在設(shè) 的某空心右鄰域 )( 0xU ?? 有定 作為一個例題 , 下面給出定理 的另一種形式 . 義 . Axfxx ??? )(lim 0那么的充要條件是任給嚴(yán)格遞減 ,),(}{ 000 xxxUx nn ?? ? ?的 .)(lim Axf nn ???必有例 2 0)( xxf 在設(shè) 的某空心右鄰域 ),( 0 ?xU ?? 上有定 Axfxx ??? )(lim000{ } ( ) , ,li m ( ) .nnnnx U x x xf x A???? ???? ? ???任給必有返回 后頁 前頁 證 必要性應(yīng)該是顯然的 . 下面我們證明充分性 . ,0 時假若 ?? xx f(x) 不以 A 為極限 . 則存在正數(shù) 。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 為代表 敘述 性質(zhì) . 這里僅以 質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可 . 并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性 極限，它們都有類似于數(shù)列極限的一些 返回返回 后頁 前頁 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設(shè) 以及 Axfxx ?? )(l i m 0 .)(lim 0 Bxfxx ??由極限的定義，對于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時當(dāng) ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時當(dāng) ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質(zhì) 一 、 返回 后頁 前頁 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m i n { 021 時當(dāng)令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 返回 后頁 前頁 定理 （局部有界性） 證 時，當(dāng)存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf返回 后頁 前頁 注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說明定理中 “局部” 這兩個字是關(guān)鍵性的 . 比較； 返回 后頁 前頁 定理 （局部保號性） 若 ,)0(0)(li
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