數學分析函數極限性質-文庫吧
2025-07-28 09:06 本頁面
【正文】 ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數因為從而有 ,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁 前頁 且設 ,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內有的某個空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(li m0Axhxx ??那么證 因為 所以對于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時當存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁 前頁 .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁 前頁 。)(lim)(lim)]()([lim)1(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ???。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點 x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點 x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運算法則） 若 ,)(lim0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 返回 后頁 前頁 這些定理的證明類似于數列極限中的相應定理 , 這 就可以知道這些定理是顯然的 . 里將證明留給讀者 . 在下一節(jié)學過歸結原則之后 , 返回 后頁 前頁 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ?? ? ?? ? ????π 0 0 .2??例 1 .a r c t a nlim x xx ???求π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以返回 后頁 前頁 例 2 .1l i m 0 ??????? xxx求有時又當 ,0?x因此由迫斂性得 。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數的性質， .1111 xxx ????????? 0?x當,11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時 , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx返回 后頁 前頁 例 3 求極限 π4l i m ( t an 1 ) .xxx??π π44πsinsin 4lim t a n lim 1 ,πc o s c o s4xxxxx??? ? ?解 因為 所以 π4π πl(wèi)im ( t a n 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 例 4 .)1(1l i m0 ??? aaxx求證有時當 ,Nn ? ,1111?? ????? ?
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