數(shù)學(xué)分析-定積分應(yīng)用-文庫吧
2025-07-21 07:29 本頁面
【正文】 曲邊扇形面積，得到 面積元素： ? ? ??j d)(21d 2 ?A曲邊扇形的面積 ?? ?? ??j d)]([21 2A? 2022/8/26 19 例 4: 計算阿基米德螺線 r = a? (a 0) 上相應(yīng)于 ? 從 0 到 2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積 . o x ? r = a? 2?a 解 : 取極角 ?為積分變量 , 變化區(qū)間為 [0, 2? ], 取小區(qū)間 [?, ? + d? ]， 則 面積元素 ?? dadA 2)(21??????20222daA??203232 ???????a3234 ?a??? ?? ??j d)]([21 2A2022/8/26 20 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 2022/8/26 21 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 解 ?? dadA 22 )c o s1(21 ??利用對稱性知 .23 2a???d?? d2)cos1( ? ? ??? 02212 aA??? d)co sco s21( 2????? 02a? ??? ? ???02 )2c o s21c o s223( da心形線也稱圓外旋輪線 2a 2022/8/26 22 積。所圍如圖所示圖形的面求例???????2co ss i n262rro xy6???o xy??? 2co ss i n2 2求交點6????? ? ?? ddS 21 s i n221????? d2022/8/26 23 積。所圍如圖所示圖形的面求例???????2co ss i n262rr??? ddS 21 s i n?? ddS 2c o s212 ??????? ?????? ?? ddS 2co s21s i n212 221236 ????06? 4?6?o xy ???? d6?2022/8/26 24 求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積 . （注意恰當(dāng)?shù)?選擇積分變量 有助于簡化積分運算） 三、小結(jié) 2022/8/26 25 立體體積 ? 一、旋轉(zhuǎn)體體積 ? 二、已知截面面積的立體體積 ? 三、小結(jié) 思考題 2022/8/26 26 旋轉(zhuǎn)體 就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做 旋轉(zhuǎn)軸 ． 圓柱 圓錐 圓臺 一、旋轉(zhuǎn)體的體積 2022/8/26 27 如何計算黃瓜的體積？ x dxx???dV)( xfy ?xy0旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV ba2)]([? ??a bdxxf 2)]([?2022/8/26 28 y例 1 連接坐標(biāo)原點 O 及點 ),( rhP 的直線、直線hx ? 及 x 軸圍成一個直角三角形．將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為 r 、高為 h 的圓錐體，計算圓錐體的體積． r解 hPxhry ?取積分變量為 x ，],0[ hx ?在 ],0[ h 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，xo直線 方程為 OP2022/8/26 29 以 dx 為底的窄邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為 dxxhrdV2????????圓錐體的體積dxxhrV h20 ???????? ?hxhr03223 ????????.32hr??yrhPxo在 ],0[ h 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，xhry ?直線 方程為 OPxhry ?2022/8/26 30 a? aoyx例 2 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 ,323232 xay ???332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉(zhuǎn)體的體積 dxxaVaa33232??????????? ?? .1 0 532 3a??星形線也稱：圓內(nèi)旋輪線 2022/8/26 31 x y o 323232ayx ?????????33s i nc o sayaxa – a 0 ? ? ? 2? 或 . P ? . 一圓沿另一圓 內(nèi)緣 無滑動地 滾動，動圓圓周上任一點 所畫出的曲線。 . 星形線 (圓內(nèi)旋輪線 ) 2022/8/26 32 轉(zhuǎn)體體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋軸所圍圖形分別繞與直線求曲線段例yxxyxxy,1,0],1,0[,3 2????軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxdxydV x 42 ?? ?? .5410?? ?? ? dxx軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2()()(V1 21 旋轉(zhuǎn)體圓柱方法 VV ??.211 102 ??? ????? ? y d yVxVy d ydyxdV ?? ?? 222022/8/26 33 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2(切片法—積分關(guān)于方法 y2dyydyxdV y )1()1( 2 ???? ??dyyV y )1(10 ??? ? ?2022/8/26 34 x dxx?)( xfy ?xy0a b)()()( xfxxfxxV y 22 ???????空心圓柱法—積分關(guān)于方法 x3dxx 32??.22 310 ?? ??? ? dxxV ydxxxfdV y )(2 ???dxxxfx y d xdV y )(22 ????2))(()(2 xxfxxxfV y ??? ????2022/8/26 35 12222?? byax軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxaabdxydV x )( 22222 ??? ??dxxaabV ax )(2 22022?? ??.34 2abV x ???旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 cy ??)3(dxcxaabcxaabdVc ???????????????? ?????????? ????222222 ??dxxaabcdV c 224 ??? ?.224 2220 a b cdxxaa bcV ac ?? ??? ??例 4 求橢圓 ，分別繞 X軸、 Y軸、直線 y=c 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 .2 abc ?? ?2022/8/26 36 例 5 求擺線 )s i n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積?xV? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata? ? ????? 20 323 )coscos3cos31( dtttta .5 32 a??a?2a?)(xydxxya )
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