數(shù)學分析數(shù)列極限的概念-文庫吧
2025-07-28 09:06 本頁面
【正文】 題我們可以看出 : 此外，又因 ? 是 任意正數(shù) , 所以 等?,2,3,2 ???1. ? 的任意性 : 定義中的 ? 用來 刻畫數(shù)列 {an} 的通 項與定數(shù) a 的接近程度 . 顯然正數(shù) ? 愈小 ,表示 a n 與 a 接近的程度愈高； ? 是任意的 , 這就表示 an 與 a 可以任意接近 .要注意， ? 一 旦 給出，在接下 來計算 N 的過程中， 它 暫時看作是確定不變的 . 返回 后頁 前頁 ??? || aa n可以用 ?Kaa n ?? || ( K 為某一正常數(shù) ) 來代替 . 定義 1, 那么對 ? ? 1 自然也可以驗證成立 . 均可看作任意正數(shù) , 故定義 1 中的不等式 2. N 的相對性 :從定義 1 中 又 可看出 , 隨 著 ? 的取值 不同 , N 當然也會不同 . 但這并不意味著 N 是由 再有 , 我們還可以限定 ? 小于某一個正數(shù) ( 比如 ? 1 ). 事實上 , 對 0 ? 1 若能驗證 { an } 滿足 返回 后頁 前頁 ,|| ??? aa n則當 n N1 = 2N 時 , 對于同樣的 ? , 更應(yīng)有 ? 惟一確定 . 例如 , 當 n N 時 , 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . .|| ??? aa n也就是說 , 在這里只是強調(diào) N 的存在性 , 而不追 返回 后頁 前頁 3. 極限的幾何意義 示當 n N 時 , .lim,)。( aaaUa nnn ?? ??即?從幾何上看 , ,實際上就是 時有 Nn ?“ ”|| ??? aa n所有下標大于 N 的 an 全都落在 鄰 域 之內(nèi)， )。( ?aU而在 之外 , { an } 至多只有有限項 ( N 項 ). )。( ?aU反過來 , 如果對于任意正數(shù) ? , 落在 之外至 )。( ?aU多只有有限項 , 設(shè)這些項的最大下標為 N, 這就表 返回 后頁 前頁 { an } 的有限多項 , 則稱數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價說法 , 寫成定義就是 : 定義 139。 任給 , 若在 之外至多只有 0?? )。( ?aU項 . 注 { an }無極限（即發(fā)散）的等價定義為 : { an } 返回 后頁 前頁 2定 義 l i m 0 , { } .nnn aa?? ?若 則 為 無 窮 小 數(shù) 列稱? ?21! .1 nnn qqnn例 和 是 無 窮 小 數(shù) 列 當 時 ,如 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?{}2 . 1 }{nna a a a數(shù) 列 收 斂 于 的 充 要 條 件 是 :定 理 ?以下定理顯然成立 ,請讀者自證 . 是 無 窮 小 數(shù) 列 .是 無 窮 小 數(shù) 列 .返回 后頁 前頁 ,大 數(shù) 列 記 作li m .nn a?? ??,窮 大 數(shù) 列 負 無 窮 大 數(shù) 列或 分 別 記 作l i m l i m .nnnnaa? ? ? ?? ? ? ? ? ?或3定 義 { } 0 ,naG設(shè) 是 一 數(shù) 列 , 若 對 任 意 總 存 在 正?, , , { }nnN n N a G a整 數(shù) 使 無則 稱 窮得 任 意 是??, , { }n n n na G a G a G a若 改 為 或 則 稱 正 無是? ? ? ?返回 后頁 前頁 六、一些例子 為了更好地理解 定義 , 再舉一些例題 . ”“ N??例 5 證明 發(fā)散 . })1({ n?又因 a 是任意的 , 所以 發(fā)散 . a 為極限 . }{ na證 對于任意實數(shù) a, 取 ,210 ?? :})1({}{ 滿足nna ??之外有無限多 )21,21(,)0(0 ???? aaaa 在時當所以由定義 139。, 不以 }{ na個偶數(shù)項（奇數(shù)項） . 返回 后頁 前頁 .0!lim ??? na nn例 6 證明 解 ,0,1|| ??? ? 時a? ?? ?| | 1|| ,| | !aaNa???取 當 Nn ? 時， ? ? ? ?? ? ? ?| | | || | | | | | | |0! 1 2 | | | | 1a n ana a a a an a a n?????? ?? ?||| | | |.| | !aaaan?? ? ?從而 .0!lim ??? na nn時，取時，當 1 NnNa ???? ?1||0 ,1! ??? nna n返回 后頁 前頁 證 我們用兩種方法來證明 . 例 7 證明 .01s inli m ??? nn 1) 任給正數(shù) ,? 1 , N n N???取 當 時，.101s i n
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