數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)-wenkub.com
2025-07-26 09:45 本頁(yè)面
【正文】 二是如何計(jì)算數(shù)列的 問題：一是怎么知道一個(gè)數(shù)列是收斂的 ? 返回返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、單調(diào)有界定理 定理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 . 證 該命題的幾何意義是十分明顯的 . }{ na不妨設(shè) 單調(diào)增，有上界 . 由確界定理，存在 s u p { } .na ??由上確界的定義，對(duì)于任意的 ,0??使 存在 0,na0 .na ???? 0 ( ) ,n n N??故當(dāng) 時(shí)??? ???( ) x0na?)( 0nna n ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 1 設(shè) 1 2 , , 2 2 2 , ,nnaa? ? ? ? ?求 lim .nn a??1122n n n na a a a??? ? ? ? ?1 ,nnaa ?? 則有2 2 10 . 2 2 , 。limlim nnnn bcbc ???? ?(3) ,0lim,0 ???? nnn bb若也收斂，且則??????nnba.limlimlim nnnnnnnbaba???????也都是收斂數(shù)列 , 且有 }{,}{ nnnn baba ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,nN?當(dāng) 時(shí) | | , | | ,nna a b b??? ? ? ?有 所以 ? ? ,2|||||| ????????? bbaababa nnnn?由 的任意性 , 得到 ? ? .limlimlim nnnnnnn bababa ?????? ?????證明 (2) ,}{ 收斂因 nb ,}{ 有界故 nb .|| Mb n ?設(shè)對(duì)于任意 0 , ,nN? ??當(dāng) 時(shí) 有| | , | |1 | | 1nna a b bMa??? ? ? ??? ，證明 (1) l i m , l i m ,nnnna a b b? ? ? ???設(shè) 0 , ,N??? 存 在返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,2|||||||| ?????? bbaaab nnn?由 的任意性 , 證得 .limlimlim nnnnnnn bababa ?????? ??證明 (3) ,1nnnnbaba ??因?yàn)?由 (2), 只要證明 .l i m11l i mnnnn bb ?????,0?b由于 據(jù)保號(hào)性 , , 11 時(shí)當(dāng) NnN ??|||| abababbaabba nnnnnn ?????于是 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ||| | .2nbb ?又因?yàn)? 22l i m , , ,nn b b N n N?? ? ? ?當(dāng) 時(shí)時(shí)，當(dāng)取 NnNNN ?? },m ax{ 2121 1 2nnnnbb bbb b b b b??? ? ? ? ? ，即 11l i m .nnbb???liml i m .limnnnn nnnaabb???????所 以,22?bbb n ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 七、一些例子 例 3 用四則運(yùn)算法則計(jì)算 11 1 011 1 0li m ,mmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?, 0 .mkm k a b??其 中(1) 當(dāng) m=k 時(shí) , 有 ? ?1l i m 0 0 ,n n ? ??? ??依 據(jù) 分別得出 : 解 返回 后頁(yè) 前頁(yè) mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111?????????????????.mmba?11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?(2) 當(dāng) m k 時(shí) , 有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 1 011 1 011 1 11l i m l i m1 1 1mm mmkmnnkk kka a a an nnn b b b bn nn? ??? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?.00 ???kmba11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?,0, .mmamkbmk????? ??，原 式 =所以 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 4 0, l i m ,nnna a a????設(shè) li .naa?求 證證 0,na ?由于 根據(jù)極限的保不等式性 , 有 .0?a( 1 ) 0 ,a ? 時(shí) 有| 0 | 。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個(gè)新概念有哪 七、一些例子 六、極限的四則運(yùn)算 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 四、保不等式性 三、保號(hào)性 二、有界性 些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運(yùn)用這
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