[理學(xué)]21數(shù)列極限-wenkub.com
2024-12-05 00:41 本頁(yè)面
【正文】 歐拉創(chuàng)用 a， b， c 表示三角形的三條邊，用 A， B， C 表示對(duì)應(yīng)的三個(gè)角 ( 1748 )；創(chuàng)用 ? 表示求和符號(hào) ( 1755 )； 提倡用 ? 表示圓周率（ 1736）； 1727年用 e 表示自然對(duì)數(shù) 的底；還用 ?y 表示差分等等。法國(guó)天文學(xué)家、物理學(xué)家阿 拉哥（ D. F. J. Arago， 1786－ 1853）說(shuō)：“歐拉計(jì)算一點(diǎn)也不 費(fèi)勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣。第二年又獲碩士學(xué)位。生前就出版了 560種論著，另有更多未 出版的論著。 他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（ 1771年），與 他共同生活 40年的結(jié)發(fā)之妻先他 10年去世。唯 一 性 （ 子 數(shù) 列 ） ； 有 界 性 ； 保 號(hào) 性?shī)A 逼 定 理 ；單 調(diào) 增 加 ( 減 少 ) 有 上 ( 下 ) 界 必 有 極 限 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。25nnnnn????? 若數(shù)列 { xn }收斂 , 則其極限值必唯一 . 三、數(shù)列極限的性質(zhì) { } li m , li m ,n n nnnx x a x b? ? ? ???即 若 數(shù) 列 收 斂 ， 且 和則 ab? P 29 性 質(zhì) 本 、 唯一性定理的推論 lim nn xa?? ?}{ nx 的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂 , 且均以 a 為極限 . 充分必要條件 何 謂 子 數(shù) 列 ？ 在數(shù)列 {xn}: x1 , x2 , ? , xn , ? 中 , 保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變 ,自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列 ,稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列 ， 記為 }.{knx 例 .)1(l i m 1???? ? nn求解 ,)1( 1??? nnx . ,)1( , ,1 ,1 ,1 ,1 :}{ 1 ?? ???? nnx取子數(shù)列： ,)1( , 1, 1, 1, :}{ 1)1(212 ?? ??? ? nnx ,)1( , 1, 1, 1, :}{ 122 ?? ????? nnx ,1)1(limlim ,11limlim 212 ?????? ????????????? nnnnnn xx而 . )1(l i m 1 不存在故 ???? ? nn 唯一性定理的推論往往用來(lái) 證明 或 判斷 數(shù)列極限不存在 ． 發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列 例 . } 8s i n {}{ 的斂散性判別 ?nx n ?解 利用函數(shù)的周期性 , 在 { xn }中取兩個(gè)子數(shù)列 : 得子數(shù)列：令 , ,8 )1( Nkkn ???? ,s i n , ,2s i n ,s i n :}{ s i n} 8s i n { ????? kkn ? .00l i ms i nl i m , ,0s i n ???? ?????? nn kNkk ?? 所以由于得子數(shù)列：令 , ,416 )2( Nkkn ????? ),22s i n (,25s i n :} )2s i n ( 2 {} 8s i n { ?????? ??? kkn .11lim)22s i n (lim ????????? nnk ??此時(shí) . )( } 8s i n { : 即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知 ?n2. 有界性定理 若數(shù)列 { xn }收斂 , 則 { xn }必有界 . 該定理的逆命題不真 , 即 有界數(shù)列不一定收斂 . 例如 , { (－ 1) n }. 有界性定理的推論： 即 無(wú)界數(shù)列的極限不存在 . 無(wú)界數(shù)列必發(fā)散 . 例 ,2 , ,8 ,4 ,2:}2{ ?? nn ,8 ,0 ,4 ,0 :}))1(1({ ?nn ??無(wú)極限發(fā)散無(wú)界 ,無(wú)極限發(fā)散無(wú)界 ,發(fā)散的數(shù)列不一定都無(wú)界 . 例如 , { (－ 1) n } . 收斂的數(shù)列必有界 . 有界的數(shù)列不一定收斂 . 無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界 . 1: ( ) . nnx ??反 例 l im , ( 0 ) , 0 ,0 ? ? ? ? ? ? ??nn x a a Na若則 , ( 0 . 0 ) ?? ?n nxn N x當(dāng) 時(shí) 有 ( 0 0 ) ,nnx x ??若保號(hào)性定理的推論 1： , l i m 存在且 ax nn ????0 ( 0) . a a? ?則 這里為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí) 此處仍是不嚴(yán)格不等號(hào) 保號(hào)性定理的推論 2： 00 ( ) ( 0 , ) , ? ? ? ? ??n nnn x y n N Nx nNy若 或 當(dāng) 時(shí)則存在且 , lim ,lim byax nnnn ?? ?????? ( l im l im ) .l im l im ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?nnnn nnnna x y ba x y b 在極限存在的前提下 , 對(duì)不等式兩邊可以同 時(shí)取極限 , 不等號(hào)的 方向不變 , 但 嚴(yán)格不等號(hào) 也 要改為 不嚴(yán)格不等號(hào) . 1. 夾逼定理 (兩邊夾定理 ) 設(shè)數(shù)列 { xn}, { yn}, { zn} 滿足下列關(guān)系 : (2) ,l i ml i m azy nnnn ?? ??????則 ax nn ????lim(1) yn ? xn ? zn , n ? Z+ (或 從某一項(xiàng) 開(kāi)始 ) 。 l im .2n
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