【正文】 ???? 11lim 五 、 連續(xù)函數(shù)的概念 當變量 從初值點 變化到終值點 時 , 稱終值與初值之差 為變量 的改變量 , 記作 即 x 0x 1x01 xx ?xx? 01 xxx ???注 1 可正可負 x?越來越小表示時越來越大表示時xxxx,0,0????0x1x 1x0?x?0?x? 注 2 因為當 時必有 , 成立 .所以下面三種說法均等價 :① 變量 從 點變化到 點 。② 變量 從 點變化到 + 。 ③變量 在 點取得改變量 . 01 xxx ??? xxx ??? 01xxx0x 0x0x0x1xx?x? 對于函數(shù) 來說 , 如果其自變量 在 點 取得改變量 ,則因變量 就會有相應的改變 , 稱其為函數(shù) 的改變量 , 記作 即 )( xfy ? x 0xx? yy)()(00 xfxxf ???y? )()( 00 xfxxfy ?????例如 函數(shù) 的改變量為 2)( xxf ?? ? ? ? 202020 2 xxxxxxy ????????? 注 1: 因為 所以 )()(00 xfxxfy ?????0lim 0 ???? yx ? ? ? 0)()(lim 000 ???? xfxxfx ??? )()(l i m000 xfxxfx ??? ?? ? )()(l i m 00xfxfxx ?? 定義 1 設(shè)函數(shù) 在 點的某一鄰域內(nèi)有定義 , 當自變量 在 點取得改變量 時 , 則有函數(shù) 的改變量 , 如果當自變量的改變量 趨于零時 , 必然有函數(shù)改變量 也趨于零 , 即有 ,則稱函數(shù) 在 點處連續(xù) . )()( 00 xfxxfy ?????x? y?)(xfy ? 0x0xxx?0lim 0 ???? yx )( xfy ? 0xy可見有 注 2 定義 2實際包含有三個條件 : (1)函數(shù) 在 點的某一鄰域內(nèi)有定義 。 )(xfy ?0x(3)其極限值等于 點的函數(shù)值 ,即 0x )()(l i m 00xfxfxx ??(2)函數(shù) 的極限存在 ,即 存在 。 )(lim0xfxx?)( xfy ? 定義 2 設(shè)函數(shù) 在 點的某一鄰域內(nèi)有定義 , 如果當自變量 時 , 函數(shù) 的極限 存在 , 且其極限值等于 點的函數(shù)值 , 即 則稱函數(shù) 在 點處連續(xù) . )(xfy ?)(xfy ?0x0x0xx ?0x)()(l i m 00xfxfxx ??)(lim0xfxx?)( xfy ? 注 3 若 時 ,則 稱函數(shù) 在 點處左連續(xù) 。若 時 ,則 稱函數(shù) 在 點處右連續(xù) 。 )()(lim 00xfxfxx ??? )(xfy ? 0x)()(lim 00xfxfxx ??? )(xfy ? 0x 定理 函數(shù) 在 點處連續(xù)的充分必要條件是 在 點既是左連續(xù)的 ,同時也是右連續(xù)的 . )(xf)(xf 0x0x 注意 一般在證明一個式子所給出的函數(shù)在某一點處的連續(xù)性時 ,使用定義 1。而在證明或判斷或研究分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性時 ,使用定義2. 證明 給自變量 在 點一個增量 x 0x x?則相應的有 ? ? ? ? 202020 2 xxxxxxy ???? ??????于是有 ? ?? ? ? ? 000lim2lim2limlim 20002000 ????????? ???? xxxxxxy xxxx ????? ????故函數(shù) 在點 處連續(xù) 2xy ? 0x 例 2 研究函數(shù) 在 點的連續(xù)性 ???????1211)( 2xxxxxf 1?x例 1 證明函數(shù) 在點 處連續(xù) 2xy ? 0x 解 顯而易見該函數(shù)在 點及附近有定義 ,且 ,又 1?x2)1( ?f22lim)(lim,2)1(lim)(lim 11211 ????? ???? ???? xxfxxf xxxx可見 存在 ,且 2)(l i m1 ?? xfx )1(2)(l i m 1 fxfx ???因此該函數(shù)在 點處連續(xù) 1?x 注意： 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù) 定義 如果函數(shù) 在區(qū)間 上的每一個點 處均連續(xù)的話 ,則稱該函數(shù)在開區(qū)間 上連續(xù) 。如果函數(shù)在開區(qū)間 上連續(xù) ,且在左端點 處右連續(xù) ,而在右端點 處左連續(xù) ,則稱該函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù) . )(xf ),( ba),( ba),( baa b? ?ba,)(xfx六、函數(shù)的間斷點 定義 3 若函數(shù) 在 點沒有定義 。 或當自變量 時 , 函數(shù) 的極限不存在 ?；蚱錁O限值不等于 點的函數(shù)值 ,即 ,則稱函數(shù) 在 點處不連續(xù)或間斷 ,此時 點稱為函數(shù) 的間斷點 . )(xfy ?)(xfy ?0x0x0xx ? )(xf0x )()(l i m 00xfxfxx ??0x)(xf 注意 : 如果 則 點稱為無窮間斷點 。如果 存在但不相等 ,則 點稱為跳躍間斷點 。如果極限 存在但不等于 點的函數(shù)值 ( 點可能根本就沒定義 ),則 點稱為函數(shù) 的可去間斷點 . ??? )(l i m0xfxx)(lim)(lim00xfxf xxxx ?? ?? 和 0x0x0x0x)(lim0xfxx ?)(xf0x求下列函數(shù)的間斷點 11).2(133).1( 2??????xxyxxy(2)顯而易見該函數(shù)在 點處也沒定義 ,所以 1?x點是該函數(shù)的間斷點 ,但又因為極限 1?x 211l i m 21 ???? xxx存在 ,所以 點是可去間斷點 . 1?x解 (1) 顯而易見該函數(shù)在 點處沒定義 .所 以 點是該函數(shù)的間斷點 ,又因為 所以它是無窮間斷點 . 1?x1?x ????? 113lim1 xxx 例 6 討論下列函數(shù)在所給點的連續(xù)性 點處在 111 11)()1( ???? ?? ??? xxx xxxf點處在 00101s i n)()2( 2 ????????? xxxxxxf所以 為跳躍間斷點 . 解 ????????1111)()1(xxxxxf該函數(shù)在 點處顯然有定 義 ,且 但 1?x)(l i m)(l i m 11 xfxf xx ?? ?? ?2)1( ?f? ? ,01lim)(lim 11 ??? ?? ?? xxf xx ? ? 21l i m)(l i m 11 ??? ?? ?? xxf xx1