【導(dǎo)讀】極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，極限是構(gòu)筑微積分堅(jiān)實(shí)理論體系的基石。和無(wú)窮小的分析方法。析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。那么可以概括地說(shuō)：“數(shù)學(xué)分析就是用。極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科”。與代數(shù)學(xué)的主要區(qū)別。也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。成了有關(guān)的證明。聯(lián)系，無(wú)限是有限的發(fā)展。，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)；號(hào)化”的意義及“數(shù)形結(jié)合”方法；程中，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于常數(shù)的精確值.間有著辯證的關(guān)系。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和。到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；題），正是由于它采用了極限的思想方法。樣的過(guò)程可以無(wú)限制地進(jìn)行下去.容易看出:數(shù)列1122nn????無(wú)限趨近于1，數(shù)1即所謂的“極限”。

　　

【正文】 .( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?由此得 11 nne ??的 前 項(xiàng) 小 , 而 的 最 后 一 項(xiàng) 大 于 零 . 因 此? 1 ,n n ne e e把 和 的 展 開(kāi) 式 作 比 較 就 可 發(fā) 現(xiàn) 的 展 開(kāi)11 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 1 3 ! 1 1ne n n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ? ?? ? ??? 11 n式 有 項(xiàng) , 其 中 的 每 一 項(xiàng) 都 比 的 展 開(kāi) 式 中1 , 1 , 2 , .nne e n???{ e }n從 而 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且1 1 1 11 . ( 2 )1! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?211 1 11 1 3 ,2 22n ne ?? ? ? ? ? ? ?由 此{(lán) } . li m .nn nee ??這 就 證 明 了 又 是 有 界 數(shù) 列 于 是 存 在e,記 此 極 限 為 即1e lim ( 1 ) .nn n????*例 3 1 1 1 11 , 1 , 2 , ,1! 2 ! 3 ! !nsn n? ? ? ? ? ? ?設(shè)211 1 11 1 3 ,2 22n ns ?? ? ? ? ? ? ? ?證 {} ns顯 然 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且 由 例 2 中 的 (2) 式 ,li m ,nn s??因 此 存 在 且 由 極 限 的 保 不 等 式 性e li m li m .nnnnes? ? ? ???1 1 1 111! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?li m e .nn s?? ?證明 : 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,!mm n n n?? ? ? ? ?, n因 此 在 上 式 中 兩 邊 令 得??,nm又 對(duì) 任 意 ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !ne n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )!nn n n n?? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?.1 1 1 1e lim 11! 2 ! 3 ! !nmn es m??? ? ? ? ? ? ? ?,m ??當(dāng) 時(shí) 由 極 限 的 保 不 等 式 性 ,e lim .mm s???從 而1 1 1 1e lim lim ( 1 ) .1! 2 ! 3 ! !nnn s n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1e lim ( 1 ) ,1! 2 ! 3 ! !n n由 公 式 可 以 較 快??? ? ? ? ? ? 算 出 的 近 似 值由 于1 1 10,( 1 ) ! ( 2 ) ! ( ) !n m nss n n n m?? ? ? ? ? ?? ? ?,m ??令 得 到10 e , 1 , 2 , .!nsnnn? ? ? ?101 0 , e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 ,ns? ? ?取 其 誤 差71010 e 1 0 .1 0 1 0 !s?? ? ? ??例 4 . : s u p ,S S a S設(shè) 是 有 界 數(shù) 集 證 明 若 則 存??{ } , li m .nn nx S x a????在 嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 數(shù) 列 使 得證 0 , ,a S x S?? ? ? ?因 是 的 上 界 , 故 對(duì) 使 得. , ,x a a S x a?? ? ? ?又 因 故 從 而 x a?? ? ?111 , ,xS? ? ? ?現(xiàn) 取 則 使 得11 .a x a?? ? ?2 1 21min { , } , ,2 a x x S? ? ? ? ?再 取 則 使 得? ? ?12 ,a x a?2 2 1 1( ) .x a a a x x?? ? ? ? ? ?且 有1, nx ?一 般 地 按 上 述 步 驟 得 到 之 后 , 取11min { , } ,nn axn? ???,nxS?則 存 在 使 得? ? ? ,nna x a?11( ) .n n n nx a a a x x? ??? ? ? ? ? ?且 有{ } ,nxS ?于 是 得 到 它 是 嚴(yán) 格 單 調(diào) 的 , 滿 足? ? ? ,nna x a?li m .nn xa?? ?這 就 證 明 了? ? ? ?1 , 1 , 2 , .nnx a nn因 此 , ?二、柯西收斂準(zhǔn)則 定理 數(shù)列 }{ na 收斂的充要條件是 : 0 , ,N n m N? ??對(duì)于任意正數(shù) ，存在 ，當(dāng) 時(shí) 有.nmaa ???柯西準(zhǔn)則的充要條件可用另一種形式表達(dá)為： 滿足上述條件的數(shù)列稱為 柯西列 . | | .n n paa ????0 , 0 ,N n N?? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意 +N,p ? 均有 柯西（ Cauchy 17891857），法國(guó)數(shù)學(xué)家。他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。他的全集 26卷，僅次于歐拉，居第二位。 柯西是歷史上可數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預(yù)言柯西日后必成大器。 1805年柯西入理工科大學(xué)， 1816年成為那里的教授。 1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了 《 分析教程 》 、 《 無(wú)窮小計(jì)算講義 》 、 《 無(wú)窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用 》這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。 現(xiàn)今所謂的柯西定義或 ε－ δ方法是半個(gè)世紀(jì)后經(jīng)過(guò)維爾斯特拉斯的加工才完成的。柯西時(shí)代實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論還未建立起來(lái)，因此極限理論也就不可能完成?？挛髟?1821年提出 ε方法（后來(lái)又改成 δ），即所謂極限概念的算術(shù)化，把整個(gè)極限過(guò)程用一系列不等式來(lái)刻畫(huà)，使無(wú)窮的運(yùn)算化成一系列不等式的推導(dǎo)。后來(lái)維爾斯特拉斯將 ε和 δ聯(lián)系起來(lái)，完成了 ε－ δ方法。 時(shí) , 有 | | ,2naA ???| | .2maA ???.22n m n ma a a A a A ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?l i m . 0,nn aA ??? ? ??設(shè) 由極限定義，證 此這里僅給出必要性的證明 . 由此推得 , ( , )n m N n m N??當(dāng)或0,N??由于該定理充分性的證明需要進(jìn)一步的知識(shí)，因 論上特別有用 , 以后將逐漸體會(huì)到它的重要性 . 注 柯西收斂準(zhǔn)則的意義在于 : 可以根據(jù)數(shù)列通 項(xiàng)本身的特征來(lái)判斷該數(shù)列是否收斂 , 而不必依 賴于極限定義中的那個(gè)極限值 A. 這一特點(diǎn)在理 001 1 11 2 2nmxx N N N? ? ? ? ???由柯西收斂準(zhǔn)則的否定陳述 , 可知 }{ nx 發(fā)散 . 證 取 ，210 ?? 000 , , 2 ,N n N m N? ? ? ? ?使得 0212121 ??????NNN ?發(fā)散 . 證明 {}nx例 5 設(shè) ,...2,1,131211 ?????? nnx n ?1si n ( 1 ) si n22nm mnxx ??? ? ? ?12s in 1 s in 2 s in , 1 , 2 , .2 2 2n nnxn? ? ? ? ?設(shè)例 6 { } .nx 收斂求證 11122mn?? ? ? 111 1 1( 1 )2 2 2m n m? ? ?? ? ? ?121( 1 )22m n m????12 m??? {} .nx? 收斂證 ,n m N??當(dāng) 時(shí) 有,l o g,0 2 ?? ????? N例 7 1: , 1 , 2, ,nnna a r n? ? ? ?設(shè) 數(shù) 列 滿 足 條 件( 0 , 1 ) . { nra?其 中 求 證 } 收 斂 .1 1 2 1n m n n n n m ma a a a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?證 ,nm?若 則11 .11n m nn n m r r rr r rrr?? ?? ? ? ? ? ???l i m 0, 0, , ,1nnr N n Nr ??? ? ? ? ? ??由 于 于 是.1nrr ??? ,m n N??若 就 有 .1nnmraar ?? ? ??{ na由 柯 西 準(zhǔn) 則 ,} 收 斂 .12 , , , ,ny a y a a y a a a a? ? ? ? ? ? ?例 8? ?收斂并求其極限。證明 nya ).0( ?? ?( 1 ) .ny證 是 單 調(diào) 增 加 的.121( 2 ) ?? ???? nnnn yayyay 有由 .12 ?????nnnn yayyay即有，于是則又對(duì) nayaaynnn ???? ,.1??? aya n ? ? .收斂故 ny12l i m)3( ??? ??? nnnn yayly ，則由設(shè))0.(2 141,2 ?????? lallal 得兩邊取極限，有? ? .有界ny小結(jié) 數(shù)列 :研究其變化規(guī)律 。 數(shù)列極限 :極限思想、定義、幾何意義 。 收斂數(shù)列的性質(zhì) : 保號(hào)性、唯一性、“兩邊夾法則”、有界性 。 數(shù)列極限的運(yùn)算 數(shù)列有極限的判別定理 作業(yè) 習(xí)題 6