數(shù)學分析之函數(shù)的連續(xù)性-資料下載頁
2025-08-11 09:15本頁面
【導讀】學分析的一個重要內(nèi)容。刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學模型。在處連續(xù)，這是因為。由極限的定義,定義1可以敘述為:對于任意正數(shù)e,注意到式在時恒成立因此。這樣就得到函數(shù)f在點x0可改寫為0xx???連續(xù)性的另外一種表達形式.對任意的存在當時0,e?這里我們稱是自變量在處的增量為相。為狄利克雷函數(shù).要求這個極限值只能是函數(shù)在該點的函數(shù)值.無定義或者有定義但0xf則稱是的?？扇ラg斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.0處右連續(xù)而不左連續(xù),從而不。都是R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù)是區(qū)間。能要添加或改變某些分段點處的值).
【正文】 設(shè) ,1ab ? 由 ,11 xxxbba ????????就可得到相應的結(jié)論 . 注 1 , 1 .xa y a? ? ?當 時 顯 然 是 連 續(xù) 函 數(shù)也是連續(xù)的 . 例 1 設(shè) .)(lim,0)(lim00bxvaxu xxxx ??? ?? 證明 .)(l i m )(0bxvxx axu ?? 推論 1 對數(shù)函數(shù) lo g ( 0 , 1 )ay x a a? ? ?在定義域 ),0( ?? 上是連續(xù)的 . 續(xù) , 從而 )(ln)( xuxv 在點 x0 也連續(xù) , 于是證得 證 設(shè) )(),(,)(,)( 00 xvxubxvaxu 則??在點 x0 連 推論 2 冪函數(shù) xxy lne ?? ?? 在定義域 上),0( ??注 例 1的結(jié)論可改寫為 .)(l i m)(l i m)(lim)( 000xvxxbxvxxxxxuaxu ???????????)(ln)(l i m)(ln)()(0eelim)(lim00xuxvxuxvxxxvxxxxxu ?????.e ln bab a??解 因為 1122 c os 1c os 1( c os ) ( 1 c os 1 ) ,xxxxxx ? ??? ? ?令 .1c os)(,)1c os1()( 21c o s 1 x xxvxxu x ????? ?例 2 求 .)( c o slim 210 xxx ?,212s i n2l i m1c o sl i m22020??????? xxxxxx由此求得 1 22100c o sc o s 1lim ( c o s ) lim ( 1 c o s 1 )xxxaxxxxx ?????? ? ?,e)1c o s1(l i m)(l i m 1c o s100???? ???xxxxxu當 故 π0 | | c o s 1 0 ,2xx? ? ? ?時，12 1e.e???二、初等函數(shù)的連續(xù)性 我們已經(jīng)知道以下函數(shù)在 定義域 內(nèi)是連續(xù)的 (i) 常值函數(shù) 。 (vi) 對數(shù)函數(shù) . (v) 指數(shù)函數(shù) 。 (iv) 冪函數(shù) 。 (iii) 反三角函數(shù) 。 (ii) 三角函數(shù) 。 以上六種函數(shù)稱為 基本初等函數(shù) . 因為連續(xù)函數(shù) 定義 3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復 上是連續(xù)的 . 合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在） 的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復 的四則運算與復合運算是保連續(xù)的，所以由上面 合運算 ,并由一個數(shù)學式子表達的函數(shù)稱為 初等函數(shù) . 例 3 求極限 .c o s )1l n(lim0 xxx??.00c os )01l n(c os )1l n(lim0????? xxx定理 初等函數(shù)在其 有定義的區(qū)間上 是連續(xù)的 . 解 因為 xxco s )1ln ( ? 是初等函數(shù) , 所以在 處連續(xù) , 0x?從而 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 。 例如 , ,1c o s ?? xy ?,4,2,0: ?????xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義 . ,)1( 32 ?? xxy ,1,0: ?? xxD 及在 0點的鄰域內(nèi)沒有定義 . .),1[ 上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ??注 1 注 2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法 . 例 4 .1c oslim0??xxe求11c o s 0 ??? e原式例 5 .11lim20 xxx???求解 解 )11()11)(11(l i m2220 ???????? xxxxx原式11lim 20 ??? ? xxx 20? .0?)()()(lim 000定義區(qū)間??? xxfxfxx思考題 若 )( xf 在0x 連續(xù)，則 |)(| xf 、 )(2 xf 在0x 是否連續(xù)？又若 |)(| xf 、 )(2 xf 在 0x 連續(xù)， )( xf 在0x 是否連續(xù)？ 思考題解答 ? )( xf 在 0x 連續(xù)， )()(lim 00xfxfxx ?? ?)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且 )()(lim 00xfxfxx ?? ??????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 0002 xfxfxfxxxxxx )( 02 xf?故 |)(| xf 、 )(2 xf 在 0x 都連續(xù) .但反之不成立 . 例 ???????0,10,1)(xxxf在 00 ?x 不連續(xù) , 但 |)(| xf 、 )(2 xf 在 00 ?x 連續(xù) . 一、 填空題：1 、 指出23122????xxxy 在 1?x 是第 __ _ __ _ _ 類間斷點；在 2?x 是第 __ __ _ 類間斷點 .2 、 指出)1(22???xxxxy 在 0?x 是第 __ __ __ _ _ 類間斷點；在 1?x 是第 __ __ __ 類間斷點；在 1??x是第 _____ 類間斷點 .二、 研究函數(shù)??????1,11,)(xxxxf 的連續(xù)性，并畫出函數(shù) 的圖形 .練 習 題 三、 指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù) .1 、 ????????1,31,1)(xxxxxf 在 Rx ? 上 .2 、 xxxft a n)( ? , 在 Rx ? 上 .四、 討論函數(shù) nnnxxxf2211lim)(?????的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型 .五、試確定 ba , 的值 , 使)1)(()(????xaxbexfx， （ 1 ）有無窮間斷點 0?x ； （ 2 ）有可去間斷點 1?x .一、 1 、一類 , 二類； 2 、一類 , 一類 , 二類 .二、 ,),1()1,()( 內(nèi)連續(xù)與在 ??????xf 1??x 為跳躍間 斷點 .三、 1 、 1?x 為第一類間斷點； 2 、 ,2為可去間斷點???? kx )0( ??? kkx 為第二類間斷點 . ????????????0,12,t a n)(1xkkxxxxf ),2,1,0( ????k ,練習題答案 ),2,1,0(2,02,t a n)(2??????????????????? kkxkkxxxxf .四、??????????1,0,01,)(xxxxxxf 1?x 和 1??x 為第一類間斷點 .五、 (1) 。1,0 ?? ba (2) eba ?? ,1 .作業(yè) 習題 1
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