【正文】 (ii) 三角函數(shù) 。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 四、一致連續(xù)性 三、反函數(shù)的連續(xù)性 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 0xf 在點(diǎn)若函數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指 : 連續(xù) (左連續(xù)或右連續(xù) ),則可推知 f 在點(diǎn) x0 的某 號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì) . 個(gè)局部鄰域 (左鄰域或右鄰域 )內(nèi)具有有界性、保 0| ( ) | | ( ) | 1 .f x f x??0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí) 0| ( ) ( ) | 1 ,f x f x??故 | f (x) | 的一個(gè)明確的上界 . 0fx因?yàn)?在 連續(xù)， 存在所以對(duì) ,1?e證 ,0??1,e ?取 這 個(gè) 特 定 的 值注意 :我們?cè)谧C明有界性時(shí) , 0,e ?“ 對(duì) 于 任 意 的 ” 這 樣 可 求 得而不是用術(shù)語(yǔ) 0( ) .f U x在 某 鄰 域 上 有 界連續(xù)，在點(diǎn)若函數(shù) 0xf定理 （局部有界性） 則 ),0)(()( ???? rxfrxf 或00( , ) ,x x x??? ? ?當(dāng) 時(shí) 有,0??存在0 0 0| ( ) ( ) | ( ) ,f x f x f x re? ? ? ?000 ( ) ( ( ) 0 ) ,r f x f x r r? ? ? ? ?或 的 正 數(shù) 存 在0 ,fx若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 且定理 （ 局部保號(hào)性） ,)0)((0)( 00 ?? xfxf 或則對(duì)任意一個(gè)滿足 ? ?0 0 0,f x f x re ??因?yàn)?在 連續(xù) 所以對(duì)正數(shù)證 000 , ( , ) ,x x x? ? ?? ? ? ?當(dāng)時(shí).0)( ?? rxf 于是證得 ( 2 ) ( ) ( ) ,f x g x?( 1 ) ( ) ( ) ,f x g x?( ) , ( )f x g x若函數(shù)定理 （連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算） 則函數(shù)連續(xù)均在點(diǎn) ,0x0( 4 ) ( ) / ( ) , ( ) 0f x g x g x ?( 3 ) ( ) ( ) ,f x g x?0 .x在 點(diǎn) 也 是 連 續(xù) 的定理的證明可直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得到 . 01() nnP x a a x a x? ? ? ?也是連續(xù)函數(shù) . 我們知道 ,常函數(shù) 與線性函數(shù) 都是 R 上 y = c y = x的連續(xù)函數(shù) , 故由四則運(yùn)算性質(zhì) , 易知多項(xiàng)式函數(shù) 0101()()nnmma a x a xPxQ x b b x b x? ? ??? ? ?同理 ,有理函數(shù) (分母不為零 )同樣是連續(xù)函數(shù) . 下面這個(gè)定理刻劃了連續(xù)這個(gè)性質(zhì)在復(fù)合運(yùn)算下 00, ( ) .u f x?連 續(xù) 0( ( ) ) .g f x x則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)0()g u u在 點(diǎn) 0()f x x若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) ，定理 是不變的 . ,01 ??存在 01| | ,uu ???當(dāng) 時(shí) 有0| ( ) ( ) | ,g u g u e??證 ,0?e因此對(duì)于任意的 0( ) ,g u u由 于 在 點(diǎn) 連 續(xù)01( ) , 0 ,f x x ? ?又因?yàn)?在點(diǎn) 連續(xù) 故對(duì)上述00 , | | ,xx??? ? ?存 在 當(dāng) 時(shí) 有0 0 1| ( ) ( ) | | | ,f x f x u u ?? ? ? ?00| ( ( ) ) ( ( ) ) | | ( ) ( ) | ,g f x g f x g u g u e? ? ? ?于是 0( ( ) ) .g f x x這 就 證 明 了 在 點(diǎn) 連 續(xù)例 2 .s i n2l i m 0 x xx ??求解 ( ) 1 ,g u u u??因 為 在 連 續(xù) 所 以.112)s i n2(lims i n2lim 10 ?????? ?? x xx x xx例 3 .)11s i n(lim xx x???求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux??? ? ?因 為 在 點(diǎn) 連 續(xù)所以 .es i n)11s i n(lim ????xx x.0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121 ???? ?? xx xx).1s i n (lim 21 xx ??求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x? ? ? ?可 視 為 的 復(fù)解 合，所以 均有 使得對(duì)一切 存在 , 0 D x D x ? ? ),)()(()()( 00 xfxfxfxf ??[ , ] , .ab 上的整體性質(zhì) 證明將在第七章里給出.],[ 上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) baf 在本節(jié)中將研究 f 在 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定義 1 ( ) .f x D設(shè) 為 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個(gè) 函 數(shù)若 ( ) ( ) ,f x D則 稱 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 稱 為 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D稱 為 在 上 的 最 大 小 值點(diǎn) , 的最大值不存在 ,最小值為零 .注意 : ][ xxy ??既無(wú)最大值 ,又無(wú)最小值 . 22yx?? π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 數(shù) 在 閉 區(qū)[ , ]ab間 上連續(xù)， ( ) [ , ] .f x a b則 在 上有最大、最小值xy sgn?例如 ,符號(hào)函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 教學(xué)目標(biāo)： 。 的概念 。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 以上六種函數(shù)稱為 基本初等函數(shù) . 因?yàn)檫B續(xù)函數(shù) 定義 3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù) 上是連續(xù)的 . 合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在） 的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù) 的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算是保連續(xù)的，所以由上面 合運(yùn)算 ,并由一個(gè)數(shù)學(xué)式子表達(dá)的函數(shù)稱為 初等函數(shù) . 例 3 求極限 .c o s )1l n(lim0 xxx??.00c os )01l n(c os )1l n(lim0????? xxx定理 初等函數(shù)在其 有定義的區(qū)間上 是連續(xù)的 . 解 因?yàn)? xxco s )1ln ( ? 是初等函數(shù) , 所以在 處連續(xù) , 0x?從而 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 。 (iii) 反三角函數(shù) 。 第一類間斷點(diǎn) :可去型 ,跳躍型 . 第二類間斷點(diǎn) :無(wú)窮型 ,振蕩型 . 間斷點(diǎn) (見(jiàn)下圖 ) 可去型 第一類間斷點(diǎn) o y x 跳躍型 無(wú)窮型 振蕩型 第二類間斷點(diǎn) o y x 0xo y x 0xo y x 0x作業(yè) 習(xí)題 5 167。 客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程往往是連綿不斷的，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)就是刻畫(huà)變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型。 . 167。函數(shù) (其上確界為 1, 下確界為 1 ) 這個(gè)定理刻畫(huà)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)深刻的 內(nèi)涵 ,在今后的學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用 . 推論 )(,],[)( xfbaxf 則上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù).],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 無(wú) 界()fx函數(shù) 有最大、最小這是因?yàn)橛啥ɡ? 可知 , 值 , 從而有上界與下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx?