【正文】 梯 位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的 . 形法有三位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的 。 取積分變量為 x],[ ba變化范圍相應(yīng)于 ],[ ba 上的任一小區(qū)間],[ dxxx ? ，窄邊梯形繞 x 軸 旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積近似的于以 )( xf 為底半徑、 dx 為高的扁圓柱體的體積，即體積元素 dxxfdV 2)]([??旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV ba2)]([? ??x dxx? x y o )( xfy ?例 2 2 2 2( ) ( 0 )x y R r r R x? ? ? ? ?求 由 圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得環(huán)狀立體的體積 . 解 2 2 2()x y R r 的 上 下 半 圓 分 別 為? ? ?,)( 222 xrRxfy ????221 ( ) .y f x R r x? ? ? ?2 2 2 221( ) ( ) ( ) 4 ,A x f x f x R r x? ? ?? ? ? ?因 此2 2 2 208 d 2 .rV R r x x r R??? ? ??從而 xyORr類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)( yx ?? 、直線 cy ? 、 dy ? 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 )( yx ??cd22[ ( ) ]dcdcV x dyy dyppj???? xyo例 3 ? ?2( , ) | 0 1 , 2x y x x y x? ? ? ? ?求 由 區(qū) 域解 旋 轉(zhuǎn) 體 由 曲 線y繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 立 體 的 體 積 ., [ 0, 1 ]2 , [ 1 , 2]yyxyy???? ?????yy和 軸 所 圍 平 面 圖 形 繞軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 而 得 . 因 此xyO 112? ?? ? ???12201π d ( 2 ) dV y y y y? ? ? ?132 2105π π ( 2 ) π .3 2 6yy y例 4 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 . 解 取坐標(biāo)系如圖 底圓方程為 ,222 Ryx ?? xyo Rx垂直于 x 軸的截面為等腰三角形 截面面積 22)( xRhyhxA ????立體體積 dxxRhV R R?? ?? 2 hR??解 xhry ?取積分變量為 x ， ],0[ hx ?直線 方程為 OP由公式得 20()h rV x d xh?? ?hxhr03223 ????????.32hr??yrhPxo例 5 連接坐標(biāo)原點(diǎn) O 及點(diǎn) ),( rhP 的直線、直線hx ? 及 x 軸圍成一個直角三角形．將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為 r 、高為 h 的圓錐體，計算圓錐體的體積． a? aoyx例 6 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 ,323232 xay ??? 332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉(zhuǎn)體的體積dxxaVaa33232??????????? ?? .1 0532 3a??在參數(shù)方程 ()()x x ty y t??? ??2[ ( ) ] ( )V y t x t d tbap ?? ? ，11( ) ( ) .x a x bab????其 中 ，下，旋轉(zhuǎn)體的體積為 x dxx?)( xfy ?x y o 例 7 求擺線 )s i n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積dxxyV ax )(220? ? ??? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta .5 32 a??a?2a?)(xy繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差 .dyyxV ay )(220 2?? ? dyyxa )(220 1?? ?oyxa?2 ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ??? 20 23 s i n)s i n( t d ttta .6 33 a??作業(yè) 習(xí)題 5 定義 1 設(shè)平面曲線 C 由以下參數(shù)方程表示 : ( ) , ( ) , [ , ] .x x t y y t t ??? ? ?( ) ( ) [ , ] , ( ) ( )x t y t x t y t?? ??如 果 與 在 上 連 續(xù) 可 微 且 與.C不 同 時 為 零 ， 則 稱 為 一 光 滑 曲 線167。 3 平面曲線的弧長與曲率 本節(jié)定義光滑曲線的弧長 ,并用定積分給出弧長計 算公式 . 一、平面曲線的弧長 換 句 話 說 ， 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) 的 曲 線 稱 為 光 滑 曲 線 . 當(dāng)曲線上每一點(diǎn)處都具有切線，且切線 隨切點(diǎn)的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為 光滑曲線 . 2yx?如 就 是 一 條 光 滑 曲 線 .2 1 1 212346 4 2 2 4 6112xy ? xy sin?定義 2 設(shè)平面曲線 C 由參數(shù)方程 ( ) , ( ) , [ , ]x x t y y t t ??? ? ?01: , m ax( Δ )ni iT t t t T t?? ，? ? ? ? ? ?[ , ]??表 示 . 對 的 一 個 分 割xoy0AP?nBP?1P2P 1nP?CC相 應(yīng) 地 對 有 一 個 分 割 , 即 上 有 分 點(diǎn)01, , , .nA P P P B??曲線 , 則 C 是可求長的 , 且弧 長為 22( ) ( ) d .s x t y t t?? ?????定理 (光滑曲線弧長公式 ) 設(shè)曲線 C 由參數(shù)方 101, l i mniiTiPP ?? ??可 以 證 明 極 限 與注 參 數(shù) 方 程 的 表示 方 式 無 關(guān) .( ) , ( ) , [ , ] .x x t y y t t ??程 表 示? ? ?若 C為一光滑 101l i m , ,niiTiP P s C若 存 在 則 稱 曲 線 是 可 求 長 的?? ???.sC并 定 義 該 極 限 值 為 曲 線 的 弧 長11Δ ( ) ( ) ( ) Δ , [ , ] .i i i i i i i iy y t y t y t x x?????? ? ? ?于是 22111nni i i iiiP P x y???? ? ? ???.: 110 ?? ?????? ? nn ttttT ?證 ??設(shè) [ , ] 的 任 一 分 割1[ , ] ,iitt?在 上 由 微 分 中 值 定 理Δ ( ) ( ) ( ) Δ , [ , ] ,i i i i i i i ix x t x t x t x x???? ? ? ?221( ) ( ) Δni i iix y t???? ?? ??? ? 221( ) ( ) Δ .ni i iix y t???????????22( ) ( ) [ , ]x t y t ???? ?由 于 在 上 連 續(xù) , 從 而 可 積 ，???????niiii tyx122 )()( ???????? ??niiii tyx122 )()( ??因此 2 2 2 20 1l i m ( ) ( ) Δ ( ) ( ) d .ni i iTix y t x t y t t????? ?? ? ? ?? ? ?? ?由第一章 167。 o s?s??.ss??????相同???? 曲線的彎曲程度與其 切線方向變化的夾角 的大小及其弧長 有關(guān) . ??s?結(jié)論： y x o A 將 sK ??? ???B ?? ???s?任意弧段 AB = = R ， 有 s? ???? ???1 .Ks R R?????? ? ???稱為曲線段 AB 的 平均曲率 ，它刻畫了一段曲線的平均彎曲程度 . ????O A B R 對于 半徑為 R的圓 ， ,0???? sK ?對于直線 , 其切線方向不變 , 即 , 有 0???同一條曲線的不同點(diǎn)處 , 曲線彎曲的程度可能不同 . Def : 曲線在 A 點(diǎn)的 曲率 為 0l im .sdKd s s????????其中 為點(diǎn) A及其鄰點(diǎn) B之間弧長 , 為 AB上切線 方向變化的角度 . 曲率刻畫了曲線在一點(diǎn)的彎曲程度 . s? ??.故 “ 直線不曲”曲率半徑與曲率圓 對半徑為 R 的圓 , .1,1 KRRK ??Def : 曲線上一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該點(diǎn)的 曲率半徑，記作 1 .K? ?幾何意義： 如圖，在 A點(diǎn)作曲線的法線，并在曲線凹的一側(cè)的法線上取 一點(diǎn) O，使得 OA= (曲線在 A點(diǎn)的曲率半徑 ). 以 O為圓心， 為半徑作一個圓，稱之為曲線在 A點(diǎn)的曲率圓 . ? ?后而拋物線法有六 元 素 法 理 論 依 據(jù) 名稱釋譯 所求量 的特點(diǎn) 解 題 步 驟 定積分應(yīng)用中的常用公式 一、主要內(nèi)容 習(xí)題課 二、典型例題 33c os( 0)sin1. 。 6 定積分的近似計算 利用牛頓 萊布尼茨公式雖然可以精確計 近似計算方法 . 數(shù)能夠求出的情形 .我們這里介紹定積分的 算定積分的值 ,但它僅適合被積函數(shù)的原函 根據(jù)定積分的定義 , 1( ) d ( )Δ ,nbiiaif x x f x x?? ??或11( ) d ( )Δ .nbiiaif x x f x x??? ??在幾何意義上 ,這是用一系列小矩形來近似小曲邊 兩種方法 . 法 .矩形法的精度較差，通常使用下面著重介紹的 梯形面積的結(jié)果 ,所以把這個近似計算法稱為 矩形 一、梯形法 將積分區(qū)間 [ , ]a b n作 等 分 , 分 點(diǎn) 為01 , Δ .nibaa x x x b xn?? ? ? ? ? ?相應(yīng)的被積函數(shù)值記為 01, , , ( ( ) , 0 , 1 , , ) ,n i iy y y y f x i n??曲線 上相應(yīng)的點(diǎn)記為 ()y f x?01, , , ( ( , ) , 0 , 1 , , ) .n i i iP P P P x y i n?將曲線上每一段