數(shù)學(xué)分析數(shù)集確界原-免費(fèi)閱讀
【正文】 ,S x S x n n x S? ? ? ? ? ? ?則011..10x n n??返回 后頁 前頁 Nkn ?一 般 地 用 歸 納 法 可 證 明 存 在 及0 1 1{ | , . } ,k k kS x x S x n n n a??? ? ?01, , . 。,)i( ???? xSx ,(i i ) 0 Sx ???? ?? 0 ,x ??使 得若數(shù)集 S 有上界 , 則必有無窮多個(gè)上界 , 而其 中最小的一個(gè)具有重要的作用 . 最小的上界稱為 上確界 . 同樣 , 若 S 有下界 , 則最大的下界稱為下 確界 . 返回 后頁 前頁 0x?? x點(diǎn)擊上圖動(dòng)畫演示 注 2 ( i i )顯 然 , 條 件 亦 可 換 成 :00 ,.x S x? ? ?? ? ? ? ? ?0,注 1 條件 (i) 說明 是 的一個(gè)上界 , 條件 (ii)說明 S?比 小的數(shù)都不是 的上界 ,從而 是最小的上 S ??界 ,即上確界是最小的上界 . 返回 后頁 前頁 定義 3 R , . R :SS ?設(shè) 若 滿 足? ? ? ?( i) , 。 ) { | | | } :U a x x a a? ? ?? ? ? 點(diǎn) 的 鄰 域( 。 ) { | 0 | | } :U a x x a a? ? ?? ? ? ? 點(diǎn) 的 空 心 鄰 域( 。x S x ?? ? ?00( i i ) , , 。 ,k k k k kS x S x n n n x S? ? ? ? ? ? ?則011..10k kx n n n??0 1 2.. kn n n n? ?令s u p .S? ?以 下 證 明返回 后頁 前頁 .,0,)i( ????? xxSx 則若0 , , .x x S x ??? ? ?若 則 亦 有011.10k kx S x n n n此 與 , 矛 盾 .? ? ? ?11 ,kkan???而 0 1 2 0 1 2, . . ,kkk a a a a n n n n使??01. , ,kx a a a x ???設(shè) 若 則事實(shí)上 , 01( i i ) , . .k? ? ? ? ? ?? ? ?設(shè)0 1 0 1, . .kkk n n n? ? ?則 使 ，??11 .kkn? ???而返回 后頁 前頁 1 0 1 1 0 1 1. . .k k kx n n n ? ? ? ?? ? ?? ? ?1 1 1 0 1 1, . .k k k kx S x n n n由 定 義 則? ? ? ?? ? ?( i ) ( i i ) s u p .S?由 的 證 明 , 我 們 得 到 ?返回 后頁 前頁 ., yxByAx ????? 有:., 滿足為非空數(shù)集設(shè) BA例 3 .i n fs u p BA ?且證明： 數(shù)集 A 有上確界，數(shù)集 B 有下確界， 由定義 , 上確界 sup A 是最小的上界 , 因此 , 任意 證 由假設(shè) ,B 中任一數(shù)
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