【導讀】到研究生階段，人們一直都在學習數學。目的性究竟何在呢？學習數學，是否就是獲得一些數學知識，論，懂得各種各樣的數學方法和手段？教育僅僅看成是知識的傳授，是很片面的，不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論,顯示出無窮無盡的威力。特點和要求，失去了開設數學課程的意義。確的認識和理解，對數學有一種仰慕和敬重，有一種向往和熱愛，有一種親和力。難以理解，覺得數學枯燥無味，甚至面目可憎，無疑是徹底失敗了。方法,在潛移默化中積累起一些優(yōu)良的素質，身就是一種素質教育。題的自覺性和主動性，并具備一定的能力，并要求將二者結合起來。局合理，結構優(yōu)化，加強基礎，重視應用，成立國家教育部數學與力學教學指導委員會。系設立“計算數學專業(yè)”，并招收研究生。學專業(yè)”下也開設計算數學專業(yè)方向。機，所以開辦計算數學專業(yè)的大學并不多?，F代工業(yè)的作用是不言而喻的。研究起到了巨大的推動作用。際問題的高級專業(yè)人才。能適應在科研部門、

　　

【正文】 t a n 1 ,2x x M M則 且? ? ? ?在因此 f00R , , ( ) ,L x D f x L f D若 則 稱 在 上 無 下 界 ；? ? ? ? ?) },(s u p {)( xgxg ?( ) ( ) s u p { ( ) } s u p { ( ) } ,f x g x f x g x?因此, s u p { ( ) } s u p { ( ) }x f x g x由 的 任 意 性 可 知,)}()({ 的一個上界是 xgxf) } .({s u p)}({s u p)}()({s u p xgxfxgxfDxDxDx ????因此, ( ) s u p { ( ) } ,x D f x f x? ? ?證 ) } .({s u p)}({s u p)}()({s u p: xgxfxgxfDxDxDx ????求證( ) , ( ) .f x g x D設 函 數 是 上 的 正 值 有 界 函 數例 2 例 3 ( ) , ( )f x g x D設 在 上 有 界 , 證 明 :in f { ( ) ( ) } in f { ( ) } su p { ( ) } .x D x DxDf x g x f x g x???? ? ? 證 000, , ( ) i n f { ( ) } .xDx D f x f x?? ?? ? ? ? ? ?0( ) su p { ( ) } ,xDg x g x??又 故00( ) ( ) in f { ( ) } su p { ( ) } .xD xDf x g x f x g x ?? ?? ? ? ?因此 00i n f { ( ) ( ) } ( ) ( )xD f x g x f x g x? ? ? ?in f { ( ) } su p { ( ) } .xDxDf x g x????二、單調函數 ? ? ?1 2 1 2, , ,x x D x x若 當 時?12( i ) ( ) ( ) ,f x f x f D有 則 稱 為 上 的 增 函 數 。?12( ) ( ) , .f x f x f特 別 有 時 稱 為 嚴 格 增 函 數?12( ii ) ( ) ( ) ,f x f x f D有 則 稱 為 上 的 減 函 數 。?12( ) ( ) , .f x f x f特 別 有 時 稱 為 嚴 格 減 函 數.上的函數是定義在設 Df定義 2 )(xfy ?)( 1xf)( 2xfx y o X)(xfy ?)( 1xf)( 2xfx y o X證 1 + 2 1 1Ry x y y y??由 在 上 為 正 值 嚴 格 增 , 可 知( ) ( )f x g x不 難 知 道 , 若 和 是 正 值 嚴 格 增 的 , 則( ) ( )f x g x 也 是 正 值 嚴 格 增 的 .例 4 2121N , Rnnn y x ?????任 意 在 上 嚴 格 增 。22+ RRnnyx 在 上 嚴 格 增 , 在 上 嚴 格 減 .??1 1 +Rnny y y? ?上 為 正 值 嚴 格 增 , 可 知 在 上 亦 正 值+R在 上 亦 正 值 嚴 格 增 .由歸納法 ,若已證 +Rny 在嚴 格 增 .1 2 2 10 , 0 ,x x x x? ? ? ? ? ?若 則 于 是2 2 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n n nx x x x??? ? ? ? ? ?2 2 2 1 2 12 1 2 1 2,Rn n n n nx x x x y即 . 這 就 證 明 了 在 ?????21 Rny上 嚴 格 減 , 而 在 上 嚴 格 增 .??1 2 1 20 0 ,x x x x? ? ? ?若 或 則2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 200n n n nx x x x? ? ? ?? ? ? ?或 ，21 Rny ?這 證 明 了 在 上 嚴 格 增 .[ ] R ,yx?易 證 函 數 在 上 是 增 函 數 但 非 嚴 格例 5 增 . xyO111?1? 222?2? 3 43上也是嚴格在其定義域且有反函數 )(, 11 Dfff ??.增函數( ) , ,y f x x D f??設 為 嚴 格 增 函 數 則 必定理 11, f f f??類 似 地 嚴 格 減 函 數 必 有 反 函 數 且 在 其.定 義 域 上 也 是 嚴 格 減 函 數, ( ) .x D f x y??使, ( )f D y f D設 在 上 嚴 格 增 則 ??證 只有一個 1 2 1 2, ( ) ( ) ,x x f x y f x? ? ? ?事實上, 若 使f則 與1.: f ?的 嚴 格 增 性 質 相 矛 盾 再 證 必 是 嚴 格 增 的,),(, 2121 yyDfyy ???1 2 1 2,y y f x x??由 于 及 的 嚴 格 增 性 必 有 即111 1 2 2( ) , ( ) ,x f y x f y????1 1 112( ) ( ) , .f y f y f? ? ?? 因 此 也 是 嚴 格 增 函 數ny因 此 的 反 函 +Rnnyx ?由 于 在 上 嚴 格 增 ,例 6 +,Rrnr y xm?? 在 上 亦 為 嚴 格 增 .1/ +Rnnzx ?數 在 上 嚴 格 增 ,故 對 任 意 有 理 數0 1 , R .a?? 時 在 上 嚴 格 減1 2 1 1 2 2, , ,r r Q x r r x? ? ? ? ?使 因 此1 1 21s u p { , }x r rra a r Q r x a a? ? ? ? ?22s u p { , } .xra r Q r x a? ? ? ?1 , Rxy a a??證 明 ： 當 時 在 上 嚴 格 增 。 當例 7 1 2 1 21 . , , .a x x x x Q? ? ?設 由 的 稠 密 性 ,證 0 1 , R .xaa ??類 似 可 證 當 時 在 上 嚴 格 減lo g ,xay x y a??由 于 是 的 反 函 數 因 此lo g ayx? +0 1 , R .a??當 時 在 上 嚴 格 減+lo g 1 Ray x a?? 當 時 , 在 上 嚴 格 增 。三、奇函數和偶函數 .,:, DxDxD ???? 必有即關于原點對稱設定義 3 , ( ) ( ) ,x D f x f x? ? ? ? ?若 .fD稱 為 上 的 奇 函 數, ( ) ( ) ,x D f x f x? ? ? ?若 .fD稱 為 上 的 偶 函 數偶 函 數 的 充 要 條 件 是 :( , ) ( ) ( , ) ( ) 。x y G f x y G f? ? ? ? ?( , ) ( ) ( , ) ( ) .x y G f x y G f或 ? ? ? ?()G f f顯 然 , 若 記 為 的 圖 象 , 則()fx 是 奇 函 數 或偶函數 y x )( xf ?)( xfy ?o x x )(xf圖形關于 y軸對稱 奇函數 )( xf ?y x )(xfo x x )( xfy ?圖形關于原點對稱 21, s in , t a n , ny x y x y x ?? ? ?例 如 是 奇 函 數 , 而2c o s , ny x y x?? 是 偶 函 數 .? ?? ? ?2 1 1ln 1 ( e e )2 xxy x x y 是 奇 函 數 = 的 反函 數 , 從 而 由 奇 函 數 的 圖 象 性 質 可 知 它也是奇函 數 . 四、周期函數 ),()(, xfxfDx ???? ?? 且必有,.ff ?則稱 為周期函數 為 的一個周期,f若周期函數 的所有正周期中有一個最小的周期f則 稱 此 最 小 正 周 期 為 的 基 本 周 期 , 簡 稱 周 期 .. 0 ,f D x D?? ? ? ?設 為 上定義的函數 若 使定義 4 2l? 2l23l? 23l注 1 周期函數的定義域不一定是 R. 例如： .s i n)( xxf ?s in 2 π ,x 的 周 期 為t a n π ,x 的 周 期 為例 8 3 2 1 O 1 2 3 1 xy注 2 周期函數不一定有最小周期 . 例如狄利克雷函 數以任意正有理數為周期，但沒有最小周期 . ( ) [ ] 1 .f x x x??例 如 函 數 的 周 期 為例 9 解 ,01)(??????QxQxxD設.)().21(),57( 的性質并討論求 xDDD ??,1)57( ??D ,0)21( ??Do xy1有界函數 , 偶函數 , 周期函數 (無最小正周期 ) 不是單調函數 , 注： 任意正有理數是狄利克雷函數 的周期 . ()Dx證 設 +Q , R .rx??Q , Q , ( ) 1 ( ) 。x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則Q , Q , ( ) 0 ( ) .x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則因此 , ()r D x是 的 一 個 周 期 .思考題 設 0?? x ，函數值 21)1( xxxf ??? ，求函數 )0()( ?? xxfy 的解析表達式 .思考題解答 設 ux ?1則 ? ? 2111 uuuf ??? ,112uu???故 )0(.11)(2???? xx xxf一、 填空題 : 1 、 若 215( ) 2fttt?? , 則 __________)( ?tf , __ __ __ __ __)1(2??tf. 2 、 若 ???????????3,s i n3,1)(xxxt, 則 )6(?? =_______ __ ， )3(?? =_________. 3 、不等式15 ??x的區(qū)間表示法是 _________. 4 、設 2xy ?, 要使 ),0( ?Ux ?時，)2,0(Uy ?, 須?_________ _. 練習題 二、證明 xy lg? 在 ),0( ?? 上的單調性 .三、證明任一定義在區(qū)間 )0(),( ?? aaa 上的函數可表 示成一個奇函數與一個偶函數之和 .四、設 )( xf 是以 2 為周期的函數，且?????????10,001,)(2xxxxf , 試在 ),( ???? 上繪出)( xf 的圖形 .五、證明：兩個偶函數的乘積是偶函數，兩個奇函數的 乘積是偶函數，偶函數與奇函數的乘積是奇函數 .六、證明函數acxbaxy??? 的反函數是其本身 .七、求 xxxxeeeexf?????)( 的反函數，并指出其定義域 .一、 1 、225tt ? ,222)1(2)1(5???tt ； 2 、 1,1 ； 3 、 (4, 6 ) ； 4 . ]2,0(? .七、 )1,1(,11ln ????xxy .練習題答案 作業(yè) 習題 10