【導(dǎo)讀】到研究生階段，人們一直都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。目的性究竟何在呢？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是否就是獲得一些數(shù)學(xué)知識(shí)，論，懂得各種各樣的數(shù)學(xué)方法和手段？教育僅僅看成是知識(shí)的傳授，是很片面的，不多的幾個(gè)公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論,顯示出無(wú)窮無(wú)盡的威力。特點(diǎn)和要求，失去了開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義。確的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)有一種仰慕和敬重，有一種向往和熱愛(ài)，有一種親和力。難以理解，覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，甚至面目可憎，無(wú)疑是徹底失敗了。方法,在潛移默化中積累起一些優(yōu)良的素質(zhì)，身就是一種素質(zhì)教育。題的自覺(jué)性和主動(dòng)性，并具備一定的能力，并要求將二者結(jié)合起來(lái)。局合理，結(jié)構(gòu)優(yōu)化，加強(qiáng)基礎(chǔ)，重視應(yīng)用，成立國(guó)家教育部數(shù)學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)。系設(shè)立“計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)”，并招收研究生。學(xué)專(zhuān)業(yè)”下也開(kāi)設(shè)計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)方向。機(jī)，所以開(kāi)辦計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)并不多?，F(xiàn)代工業(yè)的作用是不言而喻的。研究起到了巨大的推動(dòng)作用。際問(wèn)題的高級(jí)專(zhuān)業(yè)人才。能適應(yīng)在科研部門(mén)、

　　

【正文】 t a n 1 ,2x x M M則 且? ? ? ?在因此 f00R , , ( ) ,L x D f x L f D若 則 稱(chēng) 在 上 無(wú) 下 界 ；? ? ? ? ?) },(s u p {)( xgxg ?( ) ( ) s u p { ( ) } s u p { ( ) } ,f x g x f x g x?因此, s u p { ( ) } s u p { ( ) }x f x g x由 的 任 意 性 可 知,)}()({ 的一個(gè)上界是 xgxf) } .({s u p)}({s u p)}()({s u p xgxfxgxfDxDxDx ????因此, ( ) s u p { ( ) } ,x D f x f x? ? ?證 ) } .({s u p)}({s u p)}()({s u p: xgxfxgxfDxDxDx ????求證( ) , ( ) .f x g x D設(shè) 函 數(shù) 是 上 的 正 值 有 界 函 數(shù)例 2 例 3 ( ) , ( )f x g x D設(shè) 在 上 有 界 , 證 明 :in f { ( ) ( ) } in f { ( ) } su p { ( ) } .x D x DxDf x g x f x g x???? ? ? 證 000, , ( ) i n f { ( ) } .xDx D f x f x?? ?? ? ? ? ? ?0( ) su p { ( ) } ,xDg x g x??又 故00( ) ( ) in f { ( ) } su p { ( ) } .xD xDf x g x f x g x ?? ?? ? ? ?因此 00i n f { ( ) ( ) } ( ) ( )xD f x g x f x g x? ? ? ?in f { ( ) } su p { ( ) } .xDxDf x g x????二、單調(diào)函數(shù) ? ? ?1 2 1 2, , ,x x D x x若 當(dāng) 時(shí)?12( i ) ( ) ( ) ,f x f x f D有 則 稱(chēng) 為 上 的 增 函 數(shù) 。?12( ) ( ) , .f x f x f特 別 有 時(shí) 稱(chēng) 為 嚴(yán) 格 增 函 數(shù)?12( ii ) ( ) ( ) ,f x f x f D有 則 稱(chēng) 為 上 的 減 函 數(shù) 。?12( ) ( ) , .f x f x f特 別 有 時(shí) 稱(chēng) 為 嚴(yán) 格 減 函 數(shù).上的函數(shù)是定義在設(shè) Df定義 2 )(xfy ?)( 1xf)( 2xfx y o X)(xfy ?)( 1xf)( 2xfx y o X證 1 + 2 1 1Ry x y y y??由 在 上 為 正 值 嚴(yán) 格 增 , 可 知( ) ( )f x g x不 難 知 道 , 若 和 是 正 值 嚴(yán) 格 增 的 , 則( ) ( )f x g x 也 是 正 值 嚴(yán) 格 增 的 .例 4 2121N , Rnnn y x ?????任 意 在 上 嚴(yán) 格 增 。22+ RRnnyx 在 上 嚴(yán) 格 增 , 在 上 嚴(yán) 格 減 .??1 1 +Rnny y y? ?上 為 正 值 嚴(yán) 格 增 , 可 知 在 上 亦 正 值+R在 上 亦 正 值 嚴(yán) 格 增 .由歸納法 ,若已證 +Rny 在嚴(yán) 格 增 .1 2 2 10 , 0 ,x x x x? ? ? ? ? ?若 則 于 是2 2 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n n nx x x x??? ? ? ? ? ?2 2 2 1 2 12 1 2 1 2,Rn n n n nx x x x y即 . 這 就 證 明 了 在 ?????21 Rny上 嚴(yán) 格 減 , 而 在 上 嚴(yán) 格 增 .??1 2 1 20 0 ,x x x x? ? ? ?若 或 則2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 200n n n nx x x x? ? ? ?? ? ? ?或 ，21 Rny ?這 證 明 了 在 上 嚴(yán) 格 增 .[ ] R ,yx?易 證 函 數(shù) 在 上 是 增 函 數(shù) 但 非 嚴(yán) 格例 5 增 . xyO111?1? 222?2? 3 43上也是嚴(yán)格在其定義域且有反函數(shù) )(, 11 Dfff ??.增函數(shù)( ) , ,y f x x D f??設(shè) 為 嚴(yán) 格 增 函 數(shù) 則 必定理 11, f f f??類(lèi) 似 地 嚴(yán) 格 減 函 數(shù) 必 有 反 函 數(shù) 且 在 其.定 義 域 上 也 是 嚴(yán) 格 減 函 數(shù), ( ) .x D f x y??使, ( )f D y f D設(shè) 在 上 嚴(yán) 格 增 則 ??證 只有一個(gè) 1 2 1 2, ( ) ( ) ,x x f x y f x? ? ? ?事實(shí)上, 若 使f則 與1.: f ?的 嚴(yán) 格 增 性 質(zhì) 相 矛 盾 再 證 必 是 嚴(yán) 格 增 的,),(, 2121 yyDfyy ???1 2 1 2,y y f x x??由 于 及 的 嚴(yán) 格 增 性 必 有 即111 1 2 2( ) , ( ) ,x f y x f y????1 1 112( ) ( ) , .f y f y f? ? ?? 因 此 也 是 嚴(yán) 格 增 函 數(shù)ny因 此 的 反 函 +Rnnyx ?由 于 在 上 嚴(yán) 格 增 ,例 6 +,Rrnr y xm?? 在 上 亦 為 嚴(yán) 格 增 .1/ +Rnnzx ?數(shù) 在 上 嚴(yán) 格 增 ,故 對(duì) 任 意 有 理 數(shù)0 1 , R .a?? 時(shí) 在 上 嚴(yán) 格 減1 2 1 1 2 2, , ,r r Q x r r x? ? ? ? ?使 因 此1 1 21s u p { , }x r rra a r Q r x a a? ? ? ? ?22s u p { , } .xra r Q r x a? ? ? ?1 , Rxy a a??證 明 ： 當(dāng) 時(shí) 在 上 嚴(yán) 格 增 。 當(dāng)例 7 1 2 1 21 . , , .a x x x x Q? ? ?設(shè) 由 的 稠 密 性 ,證 0 1 , R .xaa ??類(lèi) 似 可 證 當(dāng) 時(shí) 在 上 嚴(yán) 格 減lo g ,xay x y a??由 于 是 的 反 函 數(shù) 因 此lo g ayx? +0 1 , R .a??當(dāng) 時(shí) 在 上 嚴(yán) 格 減+lo g 1 Ray x a?? 當(dāng) 時(shí) , 在 上 嚴(yán) 格 增 。三、奇函數(shù)和偶函數(shù) .,:, DxDxD ???? 必有即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)設(shè)定義 3 , ( ) ( ) ,x D f x f x? ? ? ? ?若 .fD稱(chēng) 為 上 的 奇 函 數(shù), ( ) ( ) ,x D f x f x? ? ? ?若 .fD稱(chēng) 為 上 的 偶 函 數(shù)偶 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 :( , ) ( ) ( , ) ( ) 。x y G f x y G f? ? ? ? ?( , ) ( ) ( , ) ( ) .x y G f x y G f或 ? ? ? ?()G f f顯 然 , 若 記 為 的 圖 象 , 則()fx 是 奇 函 數(shù) 或偶函數(shù) y x )( xf ?)( xfy ?o x x )(xf圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng) 奇函數(shù) )( xf ?y x )(xfo x x )( xfy ?圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 21, s in , t a n , ny x y x y x ?? ? ?例 如 是 奇 函 數(shù) , 而2c o s , ny x y x?? 是 偶 函 數(shù) .? ?? ? ?2 1 1ln 1 ( e e )2 xxy x x y 是 奇 函 數(shù) = 的 反函 數(shù) , 從 而 由 奇 函 數(shù) 的 圖 象 性 質(zhì) 可 知 它也是奇函 數(shù) . 四、周期函數(shù) ),()(, xfxfDx ???? ?? 且必有,.ff ?則稱(chēng) 為周期函數(shù) 為 的一個(gè)周期,f若周期函數(shù) 的所有正周期中有一個(gè)最小的周期f則 稱(chēng) 此 最 小 正 周 期 為 的 基 本 周 期 , 簡(jiǎn) 稱(chēng) 周 期 .. 0 ,f D x D?? ? ? ?設(shè) 為 上定義的函數(shù) 若 使定義 4 2l? 2l23l? 23l注 1 周期函數(shù)的定義域不一定是 R. 例如： .s i n)( xxf ?s in 2 π ,x 的 周 期 為t a n π ,x 的 周 期 為例 8 3 2 1 O 1 2 3 1 xy注 2 周期函數(shù)不一定有最小周期 . 例如狄利克雷函 數(shù)以任意正有理數(shù)為周期，但沒(méi)有最小周期 . ( ) [ ] 1 .f x x x??例 如 函 數(shù) 的 周 期 為例 9 解 ,01)(??????QxQxxD設(shè).)().21(),57( 的性質(zhì)并討論求 xDDD ??,1)57( ??D ,0)21( ??Do xy1有界函數(shù) , 偶函數(shù) , 周期函數(shù) (無(wú)最小正周期 ) 不是單調(diào)函數(shù) , 注： 任意正有理數(shù)是狄利克雷函數(shù) 的周期 . ()Dx證 設(shè) +Q , R .rx??Q , Q , ( ) 1 ( ) 。x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則Q , Q , ( ) 0 ( ) .x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則因此 , ()r D x是 的 一 個(gè) 周 期 .思考題 設(shè) 0?? x ，函數(shù)值 21)1( xxxf ??? ，求函數(shù) )0()( ?? xxfy 的解析表達(dá)式 .思考題解答 設(shè) ux ?1則 ? ? 2111 uuuf ??? ,112uu???故 )0(.11)(2???? xx xxf一、 填空題 : 1 、 若 215( ) 2fttt?? , 則 __________)( ?tf , __ __ __ __ __)1(2??tf. 2 、 若 ???????????3,s i n3,1)(xxxt, 則 )6(?? =_______ __ ， )3(?? =_________. 3 、不等式15 ??x的區(qū)間表示法是 _________. 4 、設(shè) 2xy ?, 要使 ),0( ?Ux ?時(shí)，)2,0(Uy ?, 須?_________ _. 練習(xí)題 二、證明 xy lg? 在 ),0( ?? 上的單調(diào)性 .三、證明任一定義在區(qū)間 )0(),( ?? aaa 上的函數(shù)可表 示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和 .四、設(shè) )( xf 是以 2 為周期的函數(shù)，且?????????10,001,)(2xxxxf , 試在 ),( ???? 上繪出)( xf 的圖形 .五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) .六、證明函數(shù)acxbaxy??? 的反函數(shù)是其本身 .七、求 xxxxeeeexf?????)( 的反函數(shù)，并指出其定義域 .一、 1 、225tt ? ,222)1(2)1(5???tt ； 2 、 1,1 ； 3 、 (4, 6 ) ； 4 . ]2,0(? .七、 )1,1(,11ln ????xxy .練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 10