【導(dǎo)讀】微分運算的逆運算是由已知函數(shù)f,求函數(shù)F,使的圖象正是該曲線即使得。在原函數(shù),它是否惟一?第一個問題由以下定理回答.在第九章中將證明此定理.()(),FxCfxIC也是在上的原函數(shù)其中?為積分表達式,為積分號。為方便起見,我們記()d().fxxFxC???切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為),(xfy?即)(xf是x2的一個原函數(shù).所求曲線方程為.12??

　　

【正文】 o s2s i n2c o s2s i n2s i n2222 ttxxxxxxx??????數(shù) R (sin x, cos x) 稱為三角函數(shù)有理式 . ,112t a n12t a n12c o s2s i n2s i n2c o sc o s22222222ttxxxxxxx?????????22d d( 2 a r c t a n ) d1x t tt?? ?22 2 22 1 2( si n , c os ) d , d .1 1 1ttR x x x R tt t t?? ????? ? ?????代入原積分式，得到 d .1 sin c o sxxx求 ???例 3 t a n ,2xt ?令則解 d1 sin c o sxxx???22222d121111tttttt????????d l n 1 l n 1 t an .12tx t C Ct? ? ? ? ? ? ???22 2 22 2 2 d ( 1 2 ) 2 dd1 2 1 2 2 ( 1 )t t t ttt t t t t? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 1 2 1ln 1 2 ln2 2 1tt t Ct??? ? ? ? ???2 1 2 1 c osln 1 2 c os c os ln .2 2 1 c osxx x Cx??? ? ? ? ???22sin 2 sin c o sd 2 dsin 2 c o s sin 2 c o sx x xxxx x x x?????22c o s d2 d c o s 21 2 c o s c o s 1 2x t txx x t t?? ? ?? ? ? ???例 4 222 2 2 2 222d 1 se c dsi n c os t anx x xba x b x axa?? ???2 2 221 d ( t an ) 1ar c t an t ant anx a axCbbaa bxa??? ? ???????? ?????1 ar c t an t an .a xCab b???? ????.)0(,c oss i n d 2222? ?? abxbxa x求例 5 解 1. ( , ) d ( 0 )n ax bR x xc x d ad bc?? ??? 型 不 定 積 分,.n ax bt c x d?? ?令 可化為有理函數(shù)的積分四、某些無理函數(shù)的不定積分 .)2()1(d3 2? ?? xxx求例 6 解 由于 3 23 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ,2xx x xx???? ? ? ??? ???3233 3 21 1 2 9, , d d .2 1 ( 1 )x t tt x x tx tt??? ? ?? ??因 此 令 則323 2d 3 1 2dd1 1 1( 1 ) ( 2 )xtt t t txx???? ? ???? ? ? ?????? ? ?221 1 2 3 dln 1 d2 1 2 1324ttttttt?? ? ? ? ??? ??????????21 1 2l n 1 l n ( 1 ) 3 ar c t an2 3tt t t C?? ? ? ? ? ? ? ?3 33 ln 2 12 xx? ? ? ? ?.)1(d4 3? ? xxx求例 7 4 43dd.1( 1 )xxxxxxx?????解 3 323123 ar c t an .32xx Cx??? ? ??? ?????344 4 21 1 4 d, , d ,1 ( 1 )x t tt x xx t t??? ? ???設(shè) 則244d4d11xtttxxx??????22112d11 ttt???????????1l n 2 arc t an1t tCt?? ? ??444111ln 2 ar c t an .11xxxCxxx???? ? ???型不定積分 22. ( , ) dR x ax bx c x???22224( ) ,124b ac bax bx c a xaa?? ?? ? ? ? ?????由方 于法,44,2 222abackabxu ????若記2a x b x c??則 化為2 2 2 2 2 2( i ) ( ) , ( i i ) ( ) , ( i i i ) ( ) .a u k a u k a k u? ? ?或或時也可直接化為有理函數(shù)的不定積分 . 可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分 ,有 因此可分別設(shè)把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分 . ( ii ) s e c 。u k t? ?( ii i ) s in .u k t? ?( i ) t a n 。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個不同實根 令).(2 ????? xtcbxax.32d2? ?? xxx x求例 8 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ? 2 221 23,2 1 1u xxux? ??????22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x????????得22 : 2 3 ,x x x t? ? ? ?用方法 令 則? ? ???? ?2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222???????????ttttttxx22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??2d23xx x x???222d ar c t an3 33ttCt? ? ? ? ???22 2 3ar c t an .33x x x C? ? ???注 1 對于本題來說 ,方法 2 顯然比方法 1 簡捷 . 但實質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已 . 注 2 由以上兩種方法所得的結(jié)果 , 形式雖不相同 例 9 求積分 .)1( 1 2 dxxx? ?dxxx? ? 2)1( 1 dxxxx? ??????????? 11)1(112dxxdxxdxx ??? ????? 11)1( 11 2.)1l n (11ln Cxxx ??????解 例 10 求積分 解 .)1)(21( 1 2? ?? dxxxdxxxdxx ?? ?????? 2151522154? ?? dxxx )1)(21( 1 2dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52.a rc t a n51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx ??????例 11 求積分 解 .11632dxeeexxx????令 6xet ? ,ln6 tx ?? ,6 dttdx ?dxeeexxx???? 63211dttttt 61 1 23 ????? ?dtttt? ??? )1)(1( 16 2 dttttt? ???????????? 2133136Ctttt ??????? a rc t a n3)1l n (23)1l n (3ln6 2dttttt? ?????? ?????? 21 331 36.)a r cta n(3)1l n(23)1l n(3 636 Ceeexxxx???????23)1l n (3ln6 ???? tt dttttd? ?????2221131)1(例 12 求積分 .si n14? dxx解（一） ,2t a n xu ? ,1 2si n 2uux ?? ,1 2 2 duudx ??? dxx4si n1 duu uuu? ???? 4 642 8 331Cuuuu ?????? ]3333 1[8133 .2t a n2412t a n832t a n832t a n24133 Cxxxx??????????????????解（二） 修改萬能置換公式 , xu ta n?令 ,1si n 2uux ?? ,1 1 2 duudx ??? dxx4si n1duuuu? ?????????? 2421111duu u? ?? 421Cuu ???? 13 1 3 .co tco t31 3 Cxx ????解（三） 可以不用萬能置換公式 . ? dxx4si n1 dxxx )co t1(csc 22? ??x d xxx d x 222 c scc o tc sc? ??? )( c o t xd?.co t31co t 3 Cxx ????結(jié)論 比較以上三種解法 , 便知萬能置換不一定是最佳方法 , 故三角有理式的計算中先考慮其它手段 , 不得已才用萬能置換 . 例 13 求積分 .si n3si n si n1? ?? dxxx x解 2c o s2s in2s ins inBABABA ????? ?? dxxx xsi n3si n si n1 ? ?? dxxx xco s2si n2 si n1? ?? dxxx x 2co ssi n4 si n1?? dxxx 2co ssi n 141 ?? dxx2co s141? ?? dxxx xx 222c o ss inc o ss in41 ?? dxx2co s141?? ?? dxxdxxx si n141co ssi n41 2?? dxx2co s141?? ??? dxxxdx si n141)( co sco s141 2?? dxx2co s141xco s41?2t a nln41 x? .t a n41 Cx ??,112 ?? tx? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 22tdttdtt? ?????? ???? 1112 2 Cttt ?????? 11ln2.11ln122Cxxxxx ??????????????? ??????例 14 求積分 ? ? dxx xx 11解 令 tx x ??1 ,1 2txx ???例 15 求積分 .1213? ??? dxxxx解 先對分母進行有理化 原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(? ??