【正文】 ； 2 、 tax s ec? 或 tax c s c? ； 3 、t1； 4 、21； 5 、 2 ； 6 、51； 7 、31； 8 、 ? ； 9 、 Ct ?co s2 ； 10 、 Cxaaxaxa??? )( a r c s in22222.二、 1 、 Cxaaxa ???22a r c s in ； 2 、 Cx ?lnlnln ； 3 、 Cx ??? )1l n ( co s2； 4 、 Cex?a rct a n ； 5 、 Cx ??233)1(92； 6 、 Cx ?)a r c t a n( s in212；7 、 Cxx ??32)c o s( s in23；8 、 Cxx???44932a rcs i n212；9 、 Cxx??? )9ln(29222；10 、 Cxx?? 4ln24166；11 、 Cx ?2)( a r c t a n ；12 、 Cxexexx??? )1ln ()ln ( ；13 、 Cx?10ln210a r c c o s2； 1 4 、 Cx ?2)t a n( ln21.三、 1 、 Cxxx ???? )]1ln([ a rc s in212； 2 、 Cxx??21； 3 、 Cxx ??? )21ln (2 ； 4 、 )2(22a r c s in32xaxaaxa ?? + Cxaxxa???)2(2.一、填空題：1 、 ? ?xdxx s in ____ ___ __ __ ___ __ ；2 、 ? ?x d xa r c s in ____ ___ __ __ ___ _ ；3 、計(jì)算 ? x d xx ln2， ?u可設(shè) _____ , ?dv ___ __ __ _ ；4 、計(jì)算 ??xdxexc o s ， ?u可設(shè) __ _ _ , ?dv __ ___ __ _ ；5 、計(jì)算 ? x d xx a r c t a n2， ?u可設(shè) ____ , ?dv __ ___ _ ； 6 、計(jì)算 ? ? dxxe x ， ?u可設(shè) _ _ _ _ _ _ , ?dv _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .二、 求下列不定積分：1 、 ? dxxx2c o s 22 ； 2 、 ? dxxx23)( ln；練習(xí)題二 3 、 ? n x d xeaxco s ； 4 、 ? dxex3；5 、 ? dxx )cos ( l n ； 6 、 ??dxxxex232a r c t a n)1( .三、 已知xxs in 是)( xf 的原函數(shù)，求 ? dxxxf )(39。xfxF ?可知，在積分曲線族CxFy ?? )( )( 是任意常數(shù)C上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線彼此是 _____ _ 的； 5 、 若)( xf在某區(qū)間上 _____ _ ，則在該區(qū)間上)( xf的 原函數(shù)一定存在； 練習(xí)題 6 、 ?? dxxx___________ _ _________ _ ； 7 、 ??xxdx2____________ _ __________ ； 8 、 ???? dxxx )23(2 __________ __ _ __ ； 9 、 ???? dxxx )1)(1(3_____ ____ __ ； 10 、 ??? dxxx2)1(=__________ _ __ __ _ _ . 1 、無窮多 , 常數(shù)； 2 、全體原函數(shù)； 3 、積分曲線 , 積分曲線族； 4 、平行； 5 、連續(xù)； 6 、 Cx ?2552； 7 、 Cx ???2332； 8 、 Cxxx??? 223323； 9 、 Cxxxx????232533252 10 、 Cxxx ???252352342 . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 5 167。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。1( 6 ) d d( ln ) 。x x x???x x x( 5 ) s in d d( c o s ) 。a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。 2 換元積分法與分部積分法 一、第一換元積分法 二、第二換元積分法 三、分部積分法 定理 (第一換元積分法 ) gu ( ) [ , ]??設(shè) 在 上有定義， ??? g u u G u C( ) d ( ) .且上可導(dǎo)，在又 ],[)( baxu ?? ].,[,)( baxx ??? ???且則 ? ???g x x x g u u( ( ) ) ( ) d ( ) d??CuG ?? )( ??( ( ) ) . ( 1 )G x C?證 ???d ( ( ) ) ( ( ) ) ( )d G x G x xx ? ? ?因 為 ).())(( xxg ?? ??一、第一換元積分法 所以 (1)式成立 . 第一換元積分法亦稱為湊微分法 , 即 ? ? ? ???g x x x g x x G x C( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) d ( ) ( ( ) ) ,? ? ? ? ?( 1 ) d d( ) 。tan tax ?22)3( ax ?可令 .se c tax ?例 8 .)0(d22? ?? axxa求解 ?? πs in , | | ,2x a t t設(shè)22 d c os d ( sin )a x x a t a t????22c os da t t? ?2 ( 1 c os 2 ) d2a tt???222 1si n 2 ar c si n 12 2 2a a x x xt t C Ca a a??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 a r c si n .2xa x a x Ca??? ? ? ?????求 例 9 ??? 22d ( 0 ) .x aax解 ?? πt a n , | | .2x a t t設(shè)???? 22 2d se c dse cx a t tatax? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln? ? ? ?22l n ( ) .a x x C這里可借助輔助直角三 a22xa?xt角形 , 求出 sec t , tan t . 例 10 ).0(d 22 ??? aax x求解 πse c , 0 ,2x a t t? ? ?設(shè)22d se c t an dt anx a t t tatxa?????? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln22221ln ln ,x x a C x x a Caa?? ? ? ? ? ? ?其中 sec t 和 tan t 可借助輔助直角三角形求出 . axt22xa?例 11 ).0()( d 222 ??? aax x求解 πt a n , | | ,2x a t t??????2222 4 4d se c d() se cx at txa at? ?231 c o s dtta???31 ( 1 c o s 2 ) d2 ttaCttta ??? )c oss i n(2 1 3.a r c t a n2 1 223 Cax axaxa ??????? ???a22 ax ? xt三、分部積分法 定理 (分部積分法 ) 若 u(x)與 v(x)可導(dǎo) , 不定積分 ,d)()( 存在? ? xxvxu?? ( ) ( ) d ,u x v x x則 也存在 且.d)()()()(d)()( ?? ???? xxvxuxvxuxxvxu( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x由 ? ? ???證 或 .d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu ?? ????),()())()(()()( xvxuxvxuxvxu ????? 兩邊積分 ,得 1. 降冪法 等類型函數(shù)的不定積 s in , c o s , en n n xx x x x x在求例 12 .dc o s2? xxx求解 ? 2 c os dx x x? ? 2 d si nxx?? ?2 si n 2 si n dx x x x x?? ?2 si n 2 d c osx x x x? ? ? ?2 si n 2 c os 2 c os dx x x x x x.s i n2c os2s i n2 Cxxxxx ????分時(shí) ,可用分部積分法使 xn 逐次降冪 . 定積分時(shí) ,需要使用升冪法 . 例 13 3 l n d .x x x?解 ??? ? ???????4431ln d ( ln d )44xx x x x x?3 ln dx x x.)1ln4(164Cxx ???2. 升冪法 a r c t a n , l n , a r c s i nn n nx x x x x x求 等類型函數(shù)的不 類型的函數(shù)的不定積分時(shí) ,用分 e s in , e c o sxxxx求3. 循環(huán)法 例 14 1 e c os daxI bx x求和? ?2 e si n d .axI bx x? ?解 1 1 c o s d( e )axI b xa? ?1 ( e c o s e s in d )a x a xb x b b x xa?? ?21 ( e c o s ) ,ax b x b Ia?? (3) 解出方程加上常數(shù) C 即可得不定積分 . 部積分法兩次 ,循環(huán)得到含未知不定積分的方程 , (4)式代入 (3)式 ,得 21 sin d( e )axI b xa? ?1 ( e sin e c o s d )a x a xb x b b x xa?? ?1 22s in c o s b x a b xICab??????2 22s i n c os bx b bxab11 ( e sin ) .ax b x b Ia??(4) 111 [ e c o s ( e sin ) ] .a x a xbI b x b x b Iaa? ? ?整理后得到 同理 1I 的 另 一 種 求 法 是 :?? ?1 1 ( e c o s e s in d )a x a xI b x b b x xa?? ?1 ( e c o s s in de )a x a xbb x b xaa? ? ? ?21( e c os e si n e c os d )ax ax axbbbx bx bx xa a a? ? ?211 ( e c os e si n )ax axbbbx bx Ia a a12 22sin c o s b x a b xI C Iab????所 以 的 求 法 類 似 .例 * 求積分 .)si n( l n? dxx解 ? dxx )si n ( l n ??? )][ si n( l n)si n( l n xxdxx? ??? dxxxxxx 1)co s( l n)si n ( l n???? )][ c o s( l n)c o s( l n)si n( l n xxdxxxx???? dxxxxx )si n( l n)]c o s( l n)[ si n( l n?? dxx )si n ( l n .)]co s( l n)[ si n ( l n2 Cxxx ???例 ** 求積分 .si n? xdxe x解 ? xdxe x si n ?? xx d esi n??? )( si nsi n xdexe xx??? x d xexe xx c o ssi n ??? xx x d exe