【正文】 經(jīng)過 200多年的發(fā)展 ,巴黎高等師范學校在法國可算是家喻戶曉，尤其是對于那些求知若渴的人們，這里既是知識的海洋，又是科技發(fā)展的溫床。 美國數(shù)學史家克蘭說 :“勒貝格的工作是本世紀的一個偉大貢獻 ,確實贏得了公認 ,但和通常一樣 ,也并不是沒有遭到一定的阻力的 .”數(shù)學家埃爾米特曾說 : “我懷著驚恐的心情對不可導函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡 .”當勒貝格寫一篇討論不可微曲面 《 關于可應用于平面的非直紋面短論 》 論文 ,埃爾米特就極力阻止它發(fā)表 .勒貝格從 1902年發(fā)表第一篇論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 起 ,有近十年的時間沒有在巴黎獲得職務 ,直到 1910年 ,才被同意進入巴黎大學任教。 勒貝格的成名之作是他的論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 （ 1902年）和兩本專著 《 論三角級數(shù) 》 （ 1903年）、 《 積分與原函數(shù)的研究 》 （ 1904年）在 《 積分 ,長度 ,面積 》 中 ,第一次闡明了他關于測度和積分的思想。 Lebesgue 勒貝格是法國數(shù)學家。這是一篇不到十頁、內(nèi)容極其深刻的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。 復變函數(shù)論的奠基人 柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來，而維爾斯特拉斯的思想可以從柯西 —黎曼的觀點推導出來。 1810年任柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。 傅里葉在 1811年首先給出了級數(shù)收斂及級數(shù)和的正確定義 ,并指出了拉格朗日的一個錯誤，通項趨近于零并非級數(shù)收斂的充要條件 ,而僅是必要條件。 Chapt 15 傅里葉級數(shù) 教學目標： 1. 熟練掌握如何求函數(shù)的傅里葉級數(shù)； 2. 掌握以 2l為周期的函數(shù)的展開式； 3. 掌握收斂定理的證明 . 一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利 , 但對函數(shù)的要求很高 (無限次可導 ). 如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì) , 能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢 ? 這就是將要討論的傅里葉級數(shù) . 傅里葉級數(shù)在數(shù)學、物理學和工程技術中都有著非常廣泛的應用 . 167。 1822年在代表作 《 熱的分析理論 》 中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題 ,成為分析學在物理中應用的最早例證之一 ,對 19世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。1812年當選為柏林科學院院士。 黎曼幾何的創(chuàng)始人 黎曼對數(shù)學最重要的貢獻還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學和科學各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。黎曼證明了此函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)而未予證明。 1875年 6月 28日生于博韋， 1941年 7月 26日卒于巴黎。他的工作使 19世紀在這個領域的研究大為改觀 ,特別是在博雷爾測度的基礎上建立了 “ 勒貝格測度 ” ,并以此為基礎對積分的概念作了最有意義的推廣 :即把被積函數(shù)定義的區(qū)間分成若干個勒貝格可測集 ,然后同樣作積分和 ,那么原來劃分子區(qū)間方法的積分和如果不收斂，則現(xiàn)在劃分為可測集的方法就有可能收斂。 微積分中的牛頓 —萊布尼茨公式也得到了相應的新結論 ,一門微積分的延續(xù)學科 —實變函數(shù)論在他手中誕生了。盡管飽經(jīng)歲月的磨煉，這所古老的學校在今天仍煥發(fā)著青春的活力，血管中仍流動著探索與創(chuàng)新的新鮮血液?？偨ㄖ娣e ，占地 200公頃，其中近 5公頃在巴黎行政區(qū)內(nèi)。用他的積分理論來研究三角級數(shù) ,很容易地得到了許多重要定理 ,改進了到那時為止的函數(shù)可展為三角級數(shù)的充分條件 ,緊接著導數(shù)的概念也得到了推廣。 勒貝格是 20世紀法國最有影響的分析學家之一 ,也是實變函數(shù)論的重要奠基人。 黎曼的工作直接影響了 19世紀后半期的數(shù)學發(fā)展，許多杰出的數(shù)學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。 1859年，黎曼發(fā)表論文 《 在給定數(shù)之下的素數(shù)個數(shù) 》 。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。 20歲時發(fā)表了有關彗星軌道測量的論文。 1807年向巴黎科學院呈交 《 熱的傳播 》論文 ,推導出著名的熱傳導方程 ,并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示 ,從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。 1 傅里葉級數(shù) 傅里葉 (Fourier)法國數(shù)學家及物理學家。傅里葉級數(shù)、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。貝塞爾的主要貢獻在天文學，以 《 天文學基礎 》 （ 1818）為標志發(fā)展了實驗天文學 ，還編制基本星表 ，測定恒星視差 ,預言伴星的存在，導出用于天文計算的貝塞爾公式 .他在數(shù)學研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學和天文學的有關問題提供了重要工具。 1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講。 在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛讀書，很有教養(yǎng)。于是按黎曼意義不可積的函數(shù) ,在勒貝格意義下卻變得可積。勒貝格的理論 ,不僅是對積分學的革命，而且也是傅里葉級數(shù)理論和位勢理論發(fā)展的轉折點。 無論在哪一階段，高師都與時代保持著高度的默契 ,人才輩出 ,如開生物學新紀元的亞雷斯和巴斯德，存在主義先鋒薩特，自由主義戰(zhàn)士雷蒙 總校分 3處，坐落于花都的于勒姆大街、朱丹大道和蒙突奇區(qū)。 ” 勒貝格積分的理論是對積分學的重大突破。他還是前蘇聯(lián)科學院的通訊院士。 在數(shù)學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果 黎曼不但對純數(shù)學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數(shù)學與物理世界的關系 .他是對沖擊波作數(shù)學處理的第一人。 解析數(shù)論跨世紀的成果 19世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利克雷開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創(chuàng)了用復解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念的創(chuàng)造與想象。 15歲輟學到不來梅一家商行做學徒，業(yè)余學習天文、地理和數(shù)學。 傅里葉的主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1768年 3月 21日生于歐塞爾 ,1830年 5月 16日卒于巴黎。 一、三角級數(shù) 證 令 01( ) ( c os si n )2mm n nnaS x a n x b n x?? ? ??考察積分 ? ??π 2π [ ( ) ( ) ] dmf x S x xπ π π22π π π( ) d 2 ( ) ( ) d ( ) d . ( 2 )mmf x x f x S x x S x x? ? ?? ? ?? ? ?π π0π π( ) ( ) d ( ) d2maf x S x x f x x?? ???由于 ππ1( ( ) c os d ( ) si n d ) ,mnnna f x n x x b f x n x x?????? ??根據(jù)傅里葉系數(shù)公式可得 ? ?? ? ??? π 2 2 20π 1π( ) ( ) d π ( ) . ( 3 )2mm n nnf x S x x a a b對于 2 ()mSx的積分 .應用三角函數(shù)的正交性 , 有 ??π 2π ( ) dmS x x? ???? ? ???????2π 0π 1( c os si n ) d2mnnna a n x b n x x? ? ???? ??? ? ??? ?????? ?? ? ?2π π π2 2 2 20π π π1d c os d si n d2mnnna x a n x x b n x x22201π π ( ) . ( 4 )2mnnna ab?? ? ??將 (3), (4)代入 (2)，可得 ????π 2π0 [ ( ) ( ) ] dmf x S x x? ?? ? ? ???2π2 2 20π 1π( ) d π ( ) .2mnnnaf x x a b因而 ??? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) [ ( ) ] d ,2 πmnnna a b f x x它對任何正整數(shù) m成立 . 而 π 2π1 [ ( ) ] dπ f x x?? 為有限值 , 所以正項級數(shù) 22201()2 nnna ab?????的部分和數(shù)列有界 , 因而它收斂且有不等式 (1)成立 . 推論 1 若 f 為可積函數(shù) , 則 πππ πl(wèi)i m ( ) c os d 0,( 5 )li m ( ) sin d 0,nnf x n x xf x n x x??????????????因為 (1)的左邊級數(shù)收斂 , 所以當 n ??時 , 通項 22 0nnab?? 0na ? 0nb ?, 亦即有 與 , 這就是 (5) 式 , 這個推論稱為 黎曼－ 勒貝格定理 . 1826年 9月 17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的 雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為 黎曼幾何 。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學，成績優(yōu)秀，特別擅長計算。 他在 《 積分與原函數(shù)的研究 》 中還證明了有界函數(shù)黎曼可積的充要條件是不連續(xù)點構成一個零測度集 ,因此從另外一個角度給出了黎曼可積的充要條件。 勒貝格在他的 《 工作介紹 》 中感慨地寫道： “ 對于許多數(shù)學家來說，我成了沒有導數(shù)的函數(shù)的人，雖然我在任何時候也不曾完全讓我自己去研究或思考這種函數(shù)。阿尤 ,共和國總統(tǒng)蓬皮杜等。 1808年 ,根據(jù)拿破侖一世的帝國敕令予以重建，成為培養(yǎng)國立中學教師的學校 ,1810年開始招生 , 1845年改現(xiàn)名。 勒貝格曾對他的積分思想作過一個生動有趣的描述： “ 我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應還的數(shù)目，這就是我的積分。 1934年被選為英國皇家學會會員。當時把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何。黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的充分必要條件。 黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一。 1784 年 7 月 22日生于明登 ， 1846 年 3月 17日卒于哥尼斯堡。后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。最早使用定積分符號 ,改進符號法則及根數(shù)判別方法。 正交函數(shù)系 在科學實驗與工程技術的某些現(xiàn)象中 , 常會碰到一 種周期運動 . 最簡單的周期運動 , 可用正弦函數(shù) ??s in ( ) ( 1 )y A x??來描述 . 由 (1)所表達的周期運動也稱為簡諧振動 , ? ?其中 A為 振幅 . 為 初相角 , 為 角頻率 , 于是簡諧 振動 y 的 周期 是 2π .T ?? 較為復雜的周期運動 , 則 常常是幾個簡諧振動 ? ? ?s in ( ) , 1 , 2 , ,k k ky A k x k n??11si n ( ). ( 2 )nnk k kkky y A k x????? ? ???ky2 π , 1 , 2, , ,T T k nk ?????????由于簡諧振動 的周期為 所以函數(shù) (2)周期為 T. 對無窮多個簡諧振動進行疊 加就得到函數(shù)項級數(shù) ?????01si n ( ) . ( 3 )nnnA A n x??的疊加 若級數(shù) (3)收斂 , 則它所描述的是更為一般的周期運 1?? 1??動現(xiàn)象 . 對于級數(shù) (3), 只須討論 (如果 可 用 x? 代換 x )的情形 . 由于 ? ? ?s in ( ) s in c o s c o s s in ,n n nn