數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念-資料下載頁
2025-08-22 09:06本頁面
【導(dǎo)讀】為數(shù)列.因為N+的所有元素可以從小到大排列出來,則稱若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)的集合+N,稱為數(shù)列{an}的通項.O121n?樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去.容易看出:數(shù)列1122nn????下面給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.任意的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使當(dāng)n>N時,0??注定義1這種陳述方式，俗稱為“?-N”說法.以說明,希望大家對“?-N”說法能有正確的認(rèn)識.例1用定義驗證:1lim0.注意解這個不等式是在的條件下進(jìn)行的.7n?項與定數(shù)a的接近程度.顯然正數(shù)?是任意的,這就表示an. 一旦給出，在接下。來計算N的過程中，它暫時看作是確定不變的.再有,我們還可以限定?求N的“最佳性”.所有下標(biāo)大于N的an全都落在鄰域之內(nèi)，);(?{an}的有限多項,則稱數(shù)列{an}收斂于a.這樣,之外含有{an}中的無限多00()aa??不以任何實數(shù)a為極限.若則為無窮小數(shù)列稱。以下定理顯然成立,請讀者自證.,,,{}nnNnNaGa整數(shù)使無則稱窮得任意是??,,{}nnnnaGaGaGa若改為或則稱正無是????為了更好地理解定義,再舉一些例題.”“N??
【正文】 naa?求 證證 0,na ?由于 根據(jù)極限的保不等式性 , 有 .0?a( 1 ) 0 ,a ? 時 有| 0 | 。nnaa ?? ? ?( 2 ) 0 ,a ? 時 有| | | || | .nnnna a a aaaa a a a???? ? ? ??li m .nn aa?? ?故 得 證對于任意 0 , , , | | .nN n N a a??? ? ? ? ?當(dāng) 時于 是可得 : 返回 后頁 前頁 例 5 0 , lim 0 , lim 1 .nn n nnna a a a? ? ? ?? ? ? ?求 證設(shè)證 l i m 0 ,nn aa?? ??因 為根據(jù)極限的保號性 , 存在 N, 當(dāng) nN 時 , 有 3 ,22na aa?? 即3 .22n nnnaaa??又因為 3lim lim 1 ,22n nnnaa? ? ? ???所以由極限的迫 lim 1 .n nn a?? ?斂性 , 證得 返回 后頁 前頁 例 6 li m ( 1 ) .1nnna aa?? ???求 極 限解 ( 1 ) | | 1 ,a ? lim 0 ,nn a?? ?因 為所以由極限四則 運算法則 , 得 limlim 0 .1 1 limnnnnnnnaaaa??????????( 2 ) 1 ,a ? 11l i m l i m .221nnnnaa? ? ? ????( 3 ) | | 1 ,a ? lim ( 1 ) 0 ,nn a?? ?因故得 1l i m l i m1 1 1nnnnnaaa? ? ? ????11.1 li m ( 1 )nna?????返回 后頁 前頁 例 7 12, , , ma a a設(shè) 為 m 個正數(shù) , 證明 1 2 1 2li m m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a?? ? ? ? ?12 ,n nn n nma a a a m a? ? ? ? ?證 12m a x { , , , } .ma a a a?設(shè) 由 lim lim ,nnnm a a a? ? ? ???以及極限的迫斂性 , 可得 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a a?? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 定義 1 +{ } , { } N ,nkan設(shè) 為 數(shù) 列 為 的 無 限 子 集 且12 ,kn n n? ? ? ?則 數(shù) 列12, , , ,kn n na a a{ } , { } .knnaa稱 為 的 子 列 簡 記 為注 , { } { } { } ,kn n na a a由 定 義 的 子 列 的 各 項 均 選 自{ } { }knnaa且 保 持 這 些 項 在 中 的 先 后 次 序 . 中 的 第{ } , .n k kk a n n k?項 是 中 的 第 項 故 總 有返回 后頁 前頁 定理 { } , { }nna a a若 數(shù) 列 收 斂 到 則 的 任 意 子 列{ } .knaa也 收 斂 到證 ?? ? ? ? ? ? ? ?li m . 0 , , , .n a a N n N a a設(shè) 則 當(dāng)??{ } { } . ,kn n ka a n k?設(shè) 是 的 任 意 一 個 子 列 由 于 因 此, , .kknk N n k N a a ?? ? ? ? ?時 亦 有 這 就 證 明 了li m .knk aa?? ?注 2 . 8由 定 理 可 知 , 若 一 個 數(shù) 列 的 兩 個 子 列 收 斂于 不 同 的 值 , 則 此 數(shù) 列 必 發(fā) 散 .返回 后頁 前頁 例 8 lim nn aa?? ?求 證 的 充 要 條 件 是.limlim 212 aaa nnnn ?? ?????證 (必要性 ) l i m 0 , , ,nn a a N n N??? ? ? ? ? ?設(shè) ， 則 時.|| ??? aa n所以因為 ,12,2 NnNn ???，??? || 12 aa n .|| 2 ??? aa n2 1 2( ) l i m l i m , 0 , ,kkkk a a a N??? ? ? ?? ? ? ? ?充 分 性 設(shè) 則kN?當(dāng) 時 ，返回 后頁 前頁 12 k | a a | ??? ，2k| a | .??? 2 ,N K n N??令 當(dāng) 時 , 則 有| | ,naa ???lim .nn aa?? ?所 以返回 后頁 前頁 例 9 1( 1 ) ( 1 ) . { } .nnnaa n??若 = 證 明 數(shù) 列 發(fā) 散解 顯 然21lim lim ( 1 ) 1 .2kkka k? ? ? ?? ? ?因此 , { } .na數(shù) 列 發(fā) 散211lim lim ( 1 ) 1 。21kkka k?? ? ? ?? ? ? ? ??返回 后頁 前頁 ？ 5的證法 ,證明： {} na若 為 正 有 界 數(shù) 列 ， 則12li m s u p { } .n n n nnnn a a a a?? ? ? ? ?復(fù)習(xí)思考題
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