初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念-資料下載頁
2025-05-13 00:43本頁面
【正文】 ?? 1lim n nn0 0 1 若 { xn }當 n ? ? 時沒有極限 , 則稱 { xn }發(fā)散 . ,0???若 ,0?? N時 , 使當 Nn ???? || ax n記為 ,l i m ax nn ????或 .)( ??? nax n此時 , 也稱數(shù)列 { xn } 是收斂的 . , }{ , 時的極限當為數(shù)列則稱數(shù)成立 ??nxa n 極限描述的是變量的變化趨勢 數(shù)列的項不一定取到它的極限值 . 數(shù)列極限的定義： 例 5 .021lim ???? nn證明：證 ,0?????? ?021 n由 .021l i m ???? nn 021 ???n??n21?12 ?? n?1log2?? n]} ,1[l og,0m a x{ 2 ??N故取 則 n N 時 , 由極限的定義 , 得 ). 1 || ( 0l i m ?????aa nn一般有例 6 . 0s i n1l i m ???? nnn?證明：證 ,0??? , 0s i n1 ?? ??nn要 ,1 s i n 1 ?? ?? nnn只要, , 1 時則當故取 NnN ???????? ???? ???? nnnnn 1 s i n 1 0s i n1 成立 . 由極限的定義可知 : . 0s i n1lim ???? nnn ? 放大不等式法 . , 不唯一時證明極限存在N例 7 .lim ,, :}{ aaaaax nn ????證明設 ??證 ,0???有時則當取 , ,1 NnN ???????? 0 || || aaax n .lim . aan ????故由極限的定義可知：成立 通常說成：常數(shù)的極限等于其自身 . . ,1)1(l i m ,55l i m ????? ?????? nn例 8 .|| ||l i m ,l i m : axax nnnn ?? ?????? 則若證明證 ,0 0, ,lim ???????? Nax nn ?所以因為 .|| , ???? axNn n有時當由絕對值不等式 , 得 , || | |||| | ????? axax nn . || || lim ax nn ????故有注意：該例題結論的逆命題不真 . 例如 , {(?1)n}. 例 9 證 . ,lim ),12( lim ),2( lim }{ ?????????????????Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中則滿足證明：如果 ,0??? , ,0 ,)2( lim 1 時當由 NnNmnax nn ???????? , ,0 ),12( lim 2 時當由 NnNmnax nn ????????? )。2( || mnax n ??? ? ,)12( || ???? mnax n ? , || , }, ,m a x{ 21 ????? axNnNNN n恒有時則當取 .l i m ax nn ????故由極限定義得： 逆命題成立嗎？ 例 10 證 .1lim : , ,1, ,1 ????????????nnn xnnnnnnx 證明為奇數(shù)當為偶數(shù)當設 ,0??? ,1 1 , 11 ?? ??????? nn nnnn 即要要 , , ],1[ 11 有為偶數(shù)時則當故取 nNnN ?? ? 。 11 ????nn ,1 1 , 11 , ?? ??????? nn nnnn 即要要同理 , , ],1[ 22 有為奇數(shù)時則當故取 nNnN ?? ? 。 11 ????nn , },m a x{ 21 時則當取 NnNNN ?? 11 與????nn , 11 同時成立????nn , |1| , , 即成立時當所以 ???? nxNn .1l i m ???? nn x作業(yè) ? 看懂所有書上未講的例題。 ? 課程中心湖南大學通識平臺大學數(shù)學課程教學團隊中發(fā)布。
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