[理學(xué)]21數(shù)列極限-資料下載頁
2024-12-08 00:41本頁面
【正文】 e,即 ennn ???? )1(li m1e 稱為歐拉常數(shù) , 其值為 ?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 ?e有極限 . ????? 11)1( 1 nnnx??? 11又 3?1213??? n 放大不等式 等比數(shù)列求和 . }{ 有界從而 nx .ln : , , xye ?記為稱為自然對數(shù)為底的對數(shù)以2 , 2 2 , 2 2 2 ,? ? ?證 明 數(shù) 列 的 極 限 存 在 。 例 1 12 { } ( , , )n n nx x x n???顯 然 是 單 調(diào) 增 加 的 ， 即 0解 1 2x ? ， 212 2 2 ,xx? ? ? ?12nnxx ??? 2 nx?? 2 2 nnxx??得2 20nnxx? ? ? ?12nx? ? ? ? 22nx??根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列 有極限， 12lim ,n n nn x a x x ??? ? ? ?設(shè) 則 由 得122lim limnnnna x x a?? ? ? ?? ? ? ? ?21aa? ? ?或 （ 舍 ）假 設(shè)li m li mnnnnab? ? ? ??則 。11n n n na a b b n??? ? ?(1) 對 一 切 成 立 ；li m( ) 0 ,nnn ba?? ??(2) 例 解 11n n n na a b b??? ? ?1na ? ? 1nb ??1a ?? 1b??? ? ? ?nnaa ?數(shù) 列 單 調(diào) 增 加 ， 且 有 界 有 極 限? ? ? ?bb ?數(shù) 列 單 調(diào) 減 少 ， 且 有 界 有 極 限li m ( ) li m li m 0n n n nn n nb a b a? ? ? ? ? ?? ? ? ?則 li m li mnnnnab? ? ? ??因 此 數(shù) 列 極 限 的 概 念數(shù) 列 極 限 的 四 則 運 算“ 不 等 式 放 大 法 ”內(nèi)容小結(jié) 數(shù) 列 極 限 的 性 質(zhì)數(shù) 列 極 限 的 收 斂 準(zhǔn) 則 。唯 一 性 （ 子 數(shù) 列 ） ； 有 界 性 ； 保 號 性夾 逼 定 理 ；單 調(diào) 增 加 ( 減 少 ) 有 上 ( 下 ) 界 必 有 極 限 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于 1707年生于瑞士 巴塞爾， 20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他 76年 的生命歷程中，還有 25年住在德國柏林（ 1741 － 1766年），其余時間則留在俄國彼得堡。 歐拉 31歲時右眼失明， 59歲時雙目失明。 他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（ 1771年），與 他共同生活 40年的結(jié)發(fā)之妻先他 10年去世。 歐拉聲譽顯赫。 12次獲巴黎科學(xué)院大獎（ 1738－ 1772年） 曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理 數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。 歐拉成就卓著。生前就出版了 560種論著，另有更多未 出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書 和約 400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧， 13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué) 士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué) 了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從 18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研 究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿 拉哥（ D. F. J. Arago， 1786－ 1853）說：“歐拉計算一點也不 費勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣?！? 有一次，歐拉的兩個學(xué)生計算一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的 和，加到第 17 項時兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個單位。 為了確定究竟誰對，歐拉用心算進(jìn)行了全部運算，準(zhǔn)確地 找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運用心算解決了使 牛頓頭疼的月球運動的復(fù)雜分析運算。 歐拉創(chuàng)用 a， b， c 表示三角形的三條邊，用 A， B， C 表示對應(yīng)的三個角 ( 1748 )；創(chuàng)用 ? 表示求和符號 ( 1755 )； 提倡用 ? 表示圓周率（ 1736）； 1727年用 e 表示自然對數(shù) 的底；還用 ?y 表示差分等等。 十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國， 如他在 1748年出版的 《 無窮分析引論 》 。 .)321(lim 1nnnn?????求 132313)321(11 nnnnnn??????????????????????? , 3132311 ????????????????nn而 , 33)321(3 11nnnn ?????故 , 3)33(lim 1?????nn又 . 3)321(lim , 1??????nnnn得由夾逼定理 夾逼定理 例 解 例 .221lim 2nn nn ?????? ?????求解 , 1 時當(dāng) ?n 221 2nn ?? ,12122121 2nnnnnnn ??????????????? ????????? ?故 ,121l i m ,21l i m 22 enennnnn??????? ????????? ???????而 .221lim 22 ennn??????? ?????故 夾逼定理 請自己做 ! ?? n11 ,121)1( 221 ??????? nnnn
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